2023-2024学年七年级数学下册人教版分层优化堂堂清专题二平行线中的辅助线作法

七年级数学下分层优化堂堂清 第5章 相交线与平行线 专题二 平行线中的辅助线作法技巧 在解决平行线问题时，当无法得到角的关系或两条直线的位置关系时，这时候要借助辅助线来解决，如何作辅助线来产生新的条件，又能与题目中已有的条件相联系呢？这就需要根据题型特点适当的添加辅助线，下面就平行线中的辅助线的作法进行总结。 类型一、 加截线 （连接两点或延长线的线段） 例1如图，已知，于点，．    (1)与平行吗？请说明理由； (2)与平行吗？请说明理由； (3)连接，若，且，求的度数． 总结：（3）问中连接BE，这样就出现了两条平行线被第三条直线所截，可以应用平行线的性质、判定。 针对练习1 1．如图，，.试说明：. 2．如图，已知：，，求证：.在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是( ) A.延长交的延长线于点G B.连接 C.分别作，的平分线， D.过点C作（点G在点C左侧），过点D作（点H在点D左侧） 3．在螳螂的示意图中，，，，则( ) A.14° B.16° C.18° D.20° 4. 当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有．设镜子与的夹角． (1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索α与β的数量关系，并说明理由． (3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 类型二、过拐点作平行线 1猪蹄型： 例2-1如图，直线，，为直角，则等于( ) A.132° B.134° C.136° D.138° 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线. ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和. 针对练习2-1 1．如图，若直线，，，则( ) A. B. C. D. 2．如图，，，，则的度数为( ) A. B. C. D. 3．如图,,,则,,之间的关系是( ) A. B. C. D. 4．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB，CD和一副直角三角尺”开展数学活动. 图1 图2 图3 【操作发现】 (1)如图1，小明把三角尺角的顶点G放在直线CD上，，若，则__________. (2)如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线AB，CD上，请用等式表示与之间满足的数量关系____________________.（不用证明） 【综合应用】 (3)在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点F处，即.如图3，FM平分交直线AB于点M，FN平分交直线CD于点N.将含角的三角尺绕着点F转动，且使FG始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由. 2. 铅笔型： 例2-2如图所示，已知，，，则的度数是__________. 总结：过拐点作平行线，通过平行线的传递性和平行线的性质得出结论。 涉及到的知识点有（1）平行于同一直线的两直线平行。（2）两直线平行内错角相等，（3）两直线平行同旁内角互补。 针对练习2-2 1．如图，，，，则的度数为_______. 2．如图，，，则的度数为________. 3．如图，，，，则的度数是( ) A. B. C. D. 4．如图，已知，，，则的度数是( ) A.115° B.110° C.105° D.100° 5．如图，已知，，，求度数. . 3. 外错型： 例2-3.如图，，，，则( ) A. B. C. D. 总结：在拐点或折点处作平行线，在右边或者在左边作平行线都可以，构造出同位角、内错角、同旁内角，这样就可以找到角之间的关系了。 针对练习2-3 1． 如图,已知,的下方两点满足: 平分, 平分, 若,,求的度数. . 2．如图,已知,则的度数. 3．如图所示，，.若，则的度数为 . 4. 综合型 例4已知,直线,点P为平面上一点,连接AP与CP. （1）如图1,点P在直线AB,CD之间,当,时,求. （2）如图2,点P在直线AB,CD之间,与的角平分线相交于点K,写出与之间的数量关系,并说明理由. （3）如图3,点P落在CD外,∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由. 2．已知，直线，直线和，分别交于C，D点，点A，B分别在直线，上，且位于直线的左侧，动点P在直线上，且不和点C，D重合. (1)如图1，当动点P在线段CD上运动时，求证：； (2)如图2