2024年九年级数学中考必刷题：二次函数中的相似三角形问题专项特训

2024年九年级数学中考必刷题：二次函数中的相似三角形问题专项特训 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，直线交轴于点，点为线段下方抛物线上的一点，过点作轴交直线于点，在直线上取点，连接，使得，求的最大值及此时点的坐标； (3)连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度，点是平移后新抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，连接，直接写出所有使得的点的横坐标． 2．抛物线与x轴交于，，两点，与y轴交于A点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，在y轴的负半轴是否存在点Q，使得？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点P是抛物线上的一个动点，且点P在第三象限内． ①连接与直线交于点D，求的最大值； ②过点P作y轴的垂线交y轴于点M，若，求此时点P的横坐标． 3．已知直线与抛物线有唯一公共点，直线分别交轴，轴于两点． (1)如图1，当，时，求的值； (2)如图2，当时，过点作直线的垂线交轴于点，求坐标； (3)如图3，当时，平移直线，使之与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，求证：． 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接交于点E，求的最大值； (3)如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，抛物线交x轴正半轴于点C，连结，． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)设抛物线分别交边，延长线于点D，E． ①若与相似，求抛物线表达式； ②若是等腰三角形，则a的值为______（请直接写出答案即可）． 6．如图，抛物线经过两点，与轴交于两点． (1)求抛物线的解析式： (2)点为第四象限抛物线上一动点，点横坐标为，直线与交于点，连接． ①如图1，若时，求的值： ②如图2，直线与抛物线交于点，连接．问：是否为定值？若是，请求出这个定值：若不是，请说明理由． 7．如图，直线 与y轴交于A，与x轴交于B，抛物线 与直线交于A，E两点，与x轴交于C，D两点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上一点，作轴交于于Q，当 时，求点P的坐标； (3)作交x轴于F，点G是第四象限内抛物线上一点，若以C，D，G为顶点的三角形与相似，求出点G的坐标． 8．已知抛物线(b，c为常数，)的顶点为P．与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C(点C与点A不重合)，抛物线上的点M的横坐标为m，且，过点M作直线，垂足为N． (1)若，． ①如图1，求点A、B、C和点P的坐标； ②如图2，当时，求点M的坐标； (2)若点A的坐标为，且，当时，求点M的坐标． 9．已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），交轴于点．    (1)求点、、的坐标； (2)连接，抛物线的对称轴与交于点，对称轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，并说明理由． 10．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为，且与直线交于两点． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)求证：是直角三角形； (3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作轴与抛物线交于点M，则是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P在抛物线上．    (1)求a的值； (2)直线与抛物线，分别交于点A，B，若的最大值为3，请求出m的值； (3)Q是x轴的正半轴上一点，且的中点M恰好在抛物线上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，二次函数经过点、，点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线于点E和点F．设点P的横坐标为m．    (1)求二次函数的表达式； (2)若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求m的值． (3)点P在线段上时，若以B、E、F为顶点的三角形与相似，求m的值． 13．如图，已知二次函数的图象经过，两点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)设二次函数的图象与轴的另一个交点为，它的顶点为，连接，，，．请你判断与是否相似，并说明理由； (3)当时，求此二次函数的最大值和最小值． 14．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标