6.3.5 平面向量数量积的坐标表示11种常考题型归类-2023-2024学年高一数学高频考点通关与解题策略(人教A版2019必修第二册)

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示11种常考题型归类 2023-2024学年高一数学高频考点通关与解题策略 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1平面向量数量积的坐标表示 题型2利用向量数量积求参数 题型3向量数量积的最值（范围）问题 题型4向量垂直的坐标表示 题型5向量模的坐标表示 题型6向量模的最值（范围）问题 题型7向量夹角的坐标表示 题型8向量夹角最值（范围问题） 题型9投影向量的坐标表示 题型10平面向量数量积性质的综合 题型11 向量坐标运算与三角函数的交汇 1.平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2 两个向量垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 注：（1）公式a·b＝|a||b|cos<a，b>与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos<a，b>求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解． （2）已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下： a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0； a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0． 两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反． 2．平面向量的模与夹角的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有下表： 坐标表示 模 |a|2＝x＋y或|a|＝ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝ 夹角 cosθ＝＝(a，b为非零向量) 3.向量的模的坐标运算的实质 向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得＝a＝(x，y)，∴||＝|a|＝，即|a|为点A到原点的距离．同样，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，∴||＝，即平面直角坐标系中任意两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算． 4.解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路： 先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用三角函数的相关知识求解即可.解决这类问题时应注意充分挖掘题目中的隐含条件，使问题得到快速解决。 题型1平面向量数量积的坐标表示 1．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）已知，且，则 ． 2．（2024上·辽宁抚顺·高三校联考期末）已知向量，，则 . 3．（2024·四川遂宁·统考一模）已知向量，则（    ） A．10 B．18 C． D． 4．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．7 D．8 5．（2023上·江苏徐州·高三统考期中）已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D． 6．（2024·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则 ． 7．（2024上·广东东莞·高三统考期末）已知向量，，则使成立的一个充分不必要条件是 ． 8．（2023·河南·统考模拟预测）在平行四边形中，，，点为线段 的中点，则 . 9．（2024上·山东济南·高三统考期末）平行四边形ABCD中，，，，若，，则（    ） A．4 B．6 C．18 D．22 10．（2023上·湖南·高二校联考期中）平面内顺次连接，，，，所组成的图形是（    ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 题型2利用向量数量积求参数 11．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知向量，，若，则实数m等于（    ） A． B．0 C．1 D． 12．（2023下·贵州遵义·高一校联考阶段练习）已知向量，，，则 ． 13．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）已知向量，，则（    ） A． B．1或2 C．或2 D．或 14．（2023下·广西河池·高二校联考阶段练习）已知平面向量，则实数 ． 15．（2023·全国·高一随堂练习）已