6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示10种常考题型归类-2023-2024学年高一数学高频考点通关与解题策略(人教A版2019必修第二册)

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示10种常考题型归类 2023-2024学年高一数学高频考点通关与解题策略 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1平面向量线性运算的坐标表示 题型2由向量线性运算结果求参数 题型3向量坐标的线性运算解决几何问题 题型4线段的定比分点 题型5由向量线性运算解决最值和范围问题 题型6由坐标判断向量是否共线(平面向量共线的判定) 题型7由向量共线（平行）求参数 题型8由坐标解决三点共线问题 题型9由坐标解决线段平行和长度问题 题型10利用向量共线解决几何问题 1、平面向量运算的坐标运算 运算 坐标表示 任一向量的坐标 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则 =（x2–x1，y2–y1）． 向量的加法、减法运算的坐标表示 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）． 向量的数乘运算的坐标表示 已知a=（x1，y1），则λa=（λx1，λy1），其中λ是实数． 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则 2、平面向量共线的坐标表示 （1）向量a，b共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 注：a∥b的充要条件不能表示成=，因为x2，y2有可能等于0． （2）向量共线的坐标表示的推导 ①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)． 上式若用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)， 即a∥b⇔⇔x1y2－x2y1＝0. ②设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)＝0时，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 综上①②，向量共线的坐标表示为a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 注：判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线. 3、向量共线的判定方法 （1）利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. （2）利用向量共线的坐标表达式直接求解． 若 ，向量平行的条件：或x1y2－x2y1＝0 4、三点共线的实质与证明步骤 （1）实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行． （2）证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．　　 5、利用向量共线解决几何问题 （1）向量共线在几何中的应用可分为两个方面：①已知两向量共线，求点或向量的坐标；②证明或判断三点共线、直线平行. （2）解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行. 题型1平面向量线性运算的坐标表示 1．（2023下·北京·高二统考学业考试）已知向量，，则 ． 2．（2023·上海嘉定·统考一模）已知，则 ． 3．（2023上·广东深圳·高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）已知平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2023上·北京昌平·高三昌平一中校考期中）已知向量，满足，，则 . 5．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，若，则=（    ） A． B． C． D． 6．【多选】（2023上·湖南株洲·高二校考阶段练习）已知，，下列选项中关于，的坐标运算正确的是（    ） A． B． C．若且，则 D． 7．（2023·全国·高三专题练习）已知点,若点在线段上,且,则点的坐标为 . 8．【多选】（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）如图所示，给出下列四个结论： ①；②；③；④ 其中正确结论的序号是（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 题型2由向量线性运算结果求参数 9．（2023下·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）过，的直线与x轴交于点P，设，则 10．（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 11．（2023·高一课时练习）已知向量，， 若（）， 则的值为（    ） A．3 B． C． D．1 12．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，且，则 . 13．（2023·全国·高三对口