6.4.3 课时1 余弦定理（6大题型）-2023-2024学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.4.3 课时1 余弦定理 1、借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理及其变形； 2、掌握余弦定理的证明过程； 3、能够利用余弦定理解决有关问题。 一、余弦定理： 1、公式表达：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 【注意】余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝ 4、余弦定理的推导示例：在中，内角，，所对的边分别为，， 如图，因为， ∴， 即 从而 同理，根据，， 可以得到， 二、解三角形 1、解三角形：一般地，三角形的三个角，，和她们的对边，，叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2、余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 三、判断三角形形状时常用到的结论 1、为直角三角形或或 2、为锐角三角形，且，且 3、为钝角三角形，且，且 4、若，则或 题型一 已知两边及一角解三角形 【例1】（2023·新疆和田·高一校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则 . 【变式1-1】（2023·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）在中，角对应的边分别为，则 【变式1-2】（2023·山西朔州·高一校考阶段练习）（多选）在中，已知，且，则的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-3】（2023·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期中）（多选）已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ） A． B． C．3 D． 题型二 已知三边解三角形 【例2】（2023·江苏盐城·高一盐城市大丰区南阳中学校考期中）在，内角，，的对边分别为，，，且=1，=2，=2，    则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022·高一校考单元测试）在中，内角、、所对的边分别为、、，若、、，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·河北石家庄·高一石家庄二中校考阶段练习）已知中角A、B、C对边分别为a、b、c，若，则中最大角的余弦值为 ． 【变式2-3】（2023·湖北十堰·高一统考期末）已知，在钝角中，，，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型三 求边或角的取值范围 【例3】（2023·高一课时练习）在锐角三角形ABC中，，，则边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·四川广元·高一广元中学校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·上海·高一开学考试）已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是 ． 【变式3-3】（2023·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）在△ABC中，边a，b，c满足，，则边c的最小值为 . 题型四 判断三角形的形状 【例4】（2023·河北保定·高一保定一中校考阶段练习）在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式4-1】（2023·浙江嘉兴·高一校联考期中）若，且，那么是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式4-2】（2023·陕西商洛·高二校考期末）在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（ ） A．