广东省汕头市潮阳区棉城中学2023-2024学年高二上学期数学竞赛试题

潮阳区棉城中学2023年第一学期高二年级数学科 竞赛考试题（满分150分） 命题者： 审核者： 第I卷（选择题共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数z满足，则（ ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ） A． B． C． D． 3．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．如右图，空间四边形中，，，， 且，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．一束光线从点出发，经轴反射到圆：上的最短距离为（    ） A． B． C． D． 6．己知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．36 B．25 C．20 D．16 7．函数在上单调递减，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该项目的冠亚军.已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，下面说法正确的是（ ） A．新数据的极差可能等于原数据的极差 B．新数据的中位数可能等于原数据的中位数 C．若，则新数据的方差一定大于原数据方差 D．若，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数 10．已知曲线，则（    ） A．当时，则的焦点是 B．当时，则的渐近线方程为 C．当表示双曲线时，则的取值范围为 D．存在实数，使表示圆 11．已知圆C：，直线:．下列命题正确的有（    ） A．直线与圆C可能相切 B．轴被圆C截得的弦长为 C．直线被圆C截得的最短弦长为4 D．若直线与圆相交于A，B两点，面积的最大值为 12．已知函数，的部分 图象如图所示，则（ ） A． B．将的图象向右平移个单位，得到的图象 C．，都有 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则实数 第II卷（非选择题共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．命题,则命题的否定为__________． 14．已知，则与的夹角为______． 15．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为，设四边形的周长为，面积为S，则______． 16．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，， P为棱AD的中点，且，，若点M到平面SBC的 距离为，则实数的值为____________． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）如图，直四棱柱的底面是正方形， ，E，F分别为BC，的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 18．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，已知. （1）证明：； （2）若，，求的面积. 19．（12分）已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式. (1)求线段的长度； (2)求顶点的轨迹方程. 20．（12分）已知四棱锥中，底面ABCD是正方形， 平面ABCD，，E是PB的中点. （1）求直线BD与直线PC所成角的余弦值； （2）求证：平面 （3）求点到平面的距离. 21．（12分）已知，两圆交于 两点，两圆的一条公切线段． (1)求的值； (2)求点到直线距离的最大值． 22．（12分）抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点， (1)若的面积为，求的值及圆的方程 (2)若直线与抛物线C交于P，Q两点，且， 准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T， 求的取值范围. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 潮阳区棉城中学2023年第一学期高二年级数学科 竞赛考试题详细解析 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数z满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的运算法则即可求解. 【详解】由可得： . 故选：D 2．已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆锥底面周长即为侧面展