2024年九年级数学中考二轮复习——圆的切线的证明

 2024年九年级数学中考二轮复习——圆的切线的证明 1．材料：切弦亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦． 证明：为了说明切弦性质的正确性，补充证明过程． 已知：如图，P是外一点， ， 求证： ． 证明：    2．如图，已知为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接，，过点O作于点D，过点A作半圆O的切线交的延长线于点E，连接． (1)求证：为圆O的切线； (2)求证：； (3)连接并延长交于F，若半圆O的直径为10，，求的长． 3．如图，是圆的直径，A在的延长线上，，弦垂直于于点． (1)求证：为圆的切线； (2)若，，求圆的半径及的值． 4．如图，四边形是平行四边形，以O为圆心，为半径的圆经过点A，延长交圆O于点E，=，连接． (1)求证：是圆O的切线； (2)若，求图中阴影部分面积． 5．如图，是直径，C为上一点． (1)尺规作图：求作一点，使得与B关于直线对称； (2)在（1）的条件下，在直线上取一点D，连接，若，求证：是圆O的切线． 6．如图，内接于圆O，，作的平分线，分别交、圆O于点E、P，过点A作的平行线与的平分线交于点D，．    (1)求证：为圆O的切线． (2)若，求圆O的半径． 7．如图，已知圆O是的外接圆，是圆O的直径，C是圆上的一点，D是延长线上的一点，交的延长线于点E，且平分． (1)求证：是圆O的切线． (2)若，，求和的长． 8．如图，为圆O的直径，C为圆O上一点，D为弦的中点，过点C的切线与的延长线相交于点E，连接． (1)求证：是圆O的切线； (2)当，时，求线段的长． 9．已知：如图，在中，，点是边的中点．以为直径作圆，交边于点，连接，交于点． (1)求证：是圆的切线； (2)若是圆的切线，，求的长． 10．如图，，，点O在上，交延长线于点D，，以点O为圆心，为半径作圆． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求的长. 11．如图AB是圆O的弦，过点O作OCOA，OC交AB于点P，且CB＝CP． (1)求证：BC是圆O的切线； (2)已知BAO＝，点Q是圆O上的一点（与点A，B不重合） ①求AQB的度数； ②若OA＝12，求的长． 12．如图，已知是圆的直径，是圆上异于，的点，为中点，且于点，连接． (1)求证：是圆的切线； (2)若圆的半径为，且，求． 13．如图，Rt△ABC，∠ABC=90°，点O在AB上，AD⊥CO交CO延长线于点D，∠DAO=∠ACO，以点O为圆心，OB为半径作圆． (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)已知，求OC的长？ 14．如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上，且FC＝FE． (1)求证：CF是圆O的切线； (2)若，BE＝2，求圆O的半径和的值． 15．如图，内接于圆，为直径，作交于点，延长，交于点，过点作圆的切线，交于点． (1)求证：； (2)如果，． ①求的余弦值； ②求弦的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．【详解】解：依题意， 已知：如图，P是外一点，、分别与相切于点A，点B， 求证：垂直平分． 证明：连接、，    ∵， ∴点O在的垂直平分线上， ∵、分别与相切于点A，点B， ∴， ∴点P在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 2． (3)． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为圆O的切线； （2）证明：∵为半圆O的直径， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：作于M， ∵半圆O的直径为10，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．(2)3， 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 弦垂直于于点， ， 又， 即 ， 为圆的切线； （2）解： 设则，； 在中，由勾股定理得： ； 由（1）中可知， 即， 解得（舍去），， ， ． 4．(2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． （2）由（1）知，， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知，四边形是矩形， ∴， ∴，． ∴． 5． 【详解】（1）解：如图所示． 连接并延长，以C点为圆心， 的长度为半径画弧，与的延长线交点即为点． （2）解：由（1）可知：， ， ， ， ， ， 是的半径， ∴是圆O的切线． 6．(2) 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，如图，    ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵是圆O的半径， ∴为圆O的切线； （2）