1.3线段的垂直平分线　讲义　2022—2023学年北师大版数学八年级下册

授课主题 线段的垂直平分线 年 级 八年级下 知 识 梳 理 要点一、线段的垂直平分线 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2.线段垂直平分线的做法 求作线段AB的垂直平分线. 作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线. 要点二、线段的垂直平分线定理 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件． 要点三、线段的垂直平分线逆定理 线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． 要点四、三角形的外心 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心. 2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 3.外心到三顶点的距离相等. 例题精讲 基础题 类型一、线段的垂直平分线定理 1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A； 【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9. 2、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（　　） A、7 B、14 C、17 D、20 【答案】C； 【解析】∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N， 作直线MN，交BC于点D，连接AD．∴MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD， ∵△ADC的周长为10，∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10， ∵AB=7，∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17． 3、如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结0B，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm． （1）求线段BC的长； （2）连结OA，求线段OA的长； （3）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数． 【答案与解析】解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，∴DA=DB， ∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA=EC，BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=6cm； （2）∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA=OB， ∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA=OC， ∵OB+OC+BC=16cm，∴OA=0B=OC=5cm； （3）∵∠BAC=120°，∴∠ABC+∠ACB=60°， ∵DA=DB，EA=EC，∴∠BAD=∠ABC，∠EAC=∠ACB，∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC=60°． 4、如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm． (1)求BC的长； (2)分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA的长． 【答案】(1)5；(2)4 【解析】解：(1)∵DM是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB， 同理，EA＝EC，∵△ADE的周长5，∴AD+DE+EA＝5，∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5(cm)； (2)∵△OBC的周长为13，∴OB+OC+BC＝13，∵BC＝5，∴OB+OC＝8， ∵OM垂直平分AB，∴OA＝OB，同理，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝4(cm)． 类型二、线段的垂直平分线的逆定理 1、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线． 【答案与解析】 证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB