1.2、直角三角形 学案 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

授课主题 直角三角形 年 级 八年级下 知 识 梳 理 要点一、直角三角形 概念：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。 定理：直角三角形中,两个锐角互余 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形 要点二、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 要点诠释： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . （4）勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 ①3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41…… ②如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. ③（是自然数）是直角三角形的三条边长； ④（是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤ （是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点三、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释： （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 要点四、直角三角形的性质与判定应用 (1)有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。 (2)直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，还具有一些特殊的性质: ①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理).； ②在直角三角形中,两个锐角互余； ③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半； ④直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积； ⑤在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半;在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。 要点五、互逆命题与互逆定理 如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 要点诠释： 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题. 要点六、直角三角形全等的判定（HL） 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 例题精讲 基础题 类型一、勾股定理 1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、． （1）若＝5，＝12，求； （2）若＝26，＝24，求． 2、已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为_________　 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形． 3、长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长． 4、一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（粗细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？ 类型二、勾股定理的逆定理 1、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形． （1）＝7，＝24，＝25； （2）＝，＝1，＝； （3），，()； 2、如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数． 3、已知a、b、c满足|a﹣|++（c﹣4）2=0． （1）求a、b、c的值； （2）判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 4、 “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，