1.4 角平分线 同步分层作业-2023-2024学年数学八年级下册（北师大版）

1.4 角平分线 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心） 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 ：基础过关练 一、单选题 1．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④． 其中正确的结论有（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，，和均为等腰三角形，其中，．连接并延长交，于点，，连接．若平分，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在和中，，，，连接，相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　） A．四处 B．三处 C．两处 D．一处 5．如图，在中，，．按以下步骤尺规作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和的延长线于点，．②分别以，为圆心，同样的长为半径画弧，两弧交于点．③做射线．则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．对于平面直角坐标系中的点P与图形M，N给出如下定义：点P到图形M上的各点的最小距离为m，点P到图形N上各点的最小距离为n，当时，称点P为图形M与图形N的“等长点”．如：点，，中，点O就是点E与点F的“等长点”，已知点，，，连接，若点P既是点O与点A的“等长点”，也是线段与线段的“等长点”，则点P的坐标为 ． 7．如图，在中，，平分交于点，于点，于点F，交于点，已知，则 度． 8．如图，中，，，为射线上一动点，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形．为上一点，，连接．当取最小值时，则的度数为 ． 9．如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有 处．    10．如图，在中，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，已知，则 ． ：培优提升练 三、解答题 11．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，平分与y轴交于D点，． (1)求证：； (2)在（1）中点C的坐标为，点E为上一点，且，如图2，求的长； (3)在（1）中，过D作于点，点H为上一动点，点G为上一动点，（如图3），当点H在上移动、点G在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 12．【问题提出】 （1）如图1，为的边上的高，若，，则的长为________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，平分交于点D，若，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，直线l是一条小路，是李叔叔家的一块花园的平面示意图，其中边在小路l上，边上的点D处有一口灌溉水井，经测量，，米，米．李叔叔计划对该花园进行扩建，在点C右侧的小路l上取点E，并在、、内分别种植不同的花卉，根据李叔叔的规划要求，，请你计算区域的面积． 13．如图，在四边形中，是四边形的对角线，，，且． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，延长、相交于点E，再过点E作射线交的延长线于点F．若，求证：． 14．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)在图①中，已知线段、，画线段使它与、组成轴对称图形（画出所有符合题意的线段）； (2)在图②中，找一格点D，使它到、的距离相等，到点A、C的距离也相等．（找到D点即可，不写过程） 15．如图，在中，. (1)在边上求作一点，使点到边、的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（）的条件下，若，，求的长． 1．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、垂直平分线的性质、角平分线的判定、含角的直角三角形的特征，利用垂直平分线的性质及可得，进而可得，则可判断①，根据垂直平分线的性质及含角的直角三角形的特征可判断②，根据全等三角形的性质得，再根据含角的直角三角形的特征得，由可判断③，根据垂直平分线的性质得，再根据全等三角形的性质得，进而可判断④，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：在中，， ， ， 垂直平分， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分，故①正确； ，， ，故②正确； ，， ， ， ， ， 在中，， ， ，即：， ， ，故③错误； 垂直平分， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有3个， 故选B． 2．C 【分析】本题根据，得到，即可判断A项，根据题意证明，由等腰三角形性