导数及其运用分类汇编——北京市部分区2023-2024学年高三上学期期末数学试题

北京市部分区2023-2024学年度第一学期期末数学试题汇编 《导数及其应用》 1．（2024上·北京丰台·高三统考期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 2．（2024上·北京昌平·高三统考期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求的单调区间； (3)判断极值点的个数，并说明理由． 3．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线为轴，求的值； (2)讨论在区间内极值点的个数； (3)若在区间内有零点，求证：. 4．（2024上·北京房山·高三统考期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围. 5．（2024上·北京海淀·高三统考期末）已知函数. (1)当时，求证： ①当时，； ②函数有唯一极值点； (2) 若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值. 6．（2024上·北京西城·高三统考期末）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当且时，判断与的大小，并说明理由. 7．（2024上·北京石景山·高三统考期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设实数使得对恒成立，求的取值范围． 8．（2024上·北京东城·高三统考期末）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求证：函数在上有极大值，且. 9．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数. ①若在处取得极大值，求的单调区间； ②若恰有三个零点，求的取值范围. 10．（2024上·北京大兴·高三统考期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求的值； (2)当时，求的零点个数； (3)证明：是为单调函数的充分而不必要条件. 11．（2024上·北京顺义·高三统考期末）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上存在极值，求实数的取值范围： (3)写出的零点个数．（直接写出结论期可） 试卷第1页，共3页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案及解析 1．(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题可得， 因为在点处的切线平行于轴，所以， 即，解得，经检验符合题意． （2）因为， 令，得或． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，因为，当且仅当时，， 所以在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 2．(1) (2)答案见解析 (3)；理由见解析 【详解】（1）由题意知，定义域为，所以， 所以直线的斜率，， 所以切线方程为，即. （2）由（1）知，所以， 令，即，解得或， 当，， 当，， 当，， 所以在，单调递增，在单调递减. （3）个极值点，理由如下： 由（2）知当时，在区间上单调递增， ，， 所以存在唯一，使； 当时，在区间上单调递减， ，， 所以存在唯一，使； 当时，，，所以 所以在区间无零点； 综上，当，， 当，， 当，， 所以当时，取到极小值；当时，取到极大值； 故有个极值点. 3．(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由得：， 依题意，，得. 经验证，在点处的切线为，所以. （2）由题得. （i）若，当时，恒成立， 所以在区间上单调递增，所以无极值点. （ii）若， 当时，，故在区间上单调递减， 当时，，故在区间上单调递增. 所以为的极小值点，且无极大值点. 综上，当时，在区间内的极值点个数为0； 当时，在区间内的极值点个数为1. （3）由（2）知当时，在区间上单调递增， 所以，在区间内无零点. 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 所以. 若在区间内有零点，则. 而，设， 则. 设，则， 所以在区间上单调递增. 所以，即. 所以在区间上单调递增. 所以，即. 又，所以. 4．(1) (2)、 (3) 【详解】（1）解：当时，，则，所以，，， 故当时，曲线在点处的切线方程为，即