3.2.1双曲线及其标准方程 教学设计——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程 核心素养目标： 1.能直观认识双曲线的几何特征，会识别双曲线的定义和相关概念，能从椭圆，双曲线定义的形成中感受它们的内在联系与区别，能初步应用双曲线的定义解决一些简单的问题. 2.能根据双曲线的几何特征选择适当的平面直角坐标系，根据双曲线的定义的代数表达式类比椭圆导出双曲线的标准方程，能识别焦点在不同坐标上的双曲线的标准方程，能说出标准方程中特征量的关系，能初步应用双曲线的定义和标准方程解决问题. 3.通过类比学习双曲线定义和标准方程的过程，提升学生直观想象和运算求解的能力. 教学重点：双曲线的几何特征，双曲线的定义及标准方程 教学难点：双曲线标准方程的推导 教法分析：本课采用探究式教学法，以问题引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习.通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察-猜想-证明-应用”的过程，发现新的知识. 学法分析：本课采用“自主、合作、探究”的学习方法.引导学生自主探究、发现知识；通过设计问题，来支撑学生积极的学习活动，帮助他们成为学习活动的主体；创设问题情境，引导他们进行探索与解决问题.并注意培养学生的动手实践能力. 教学过程： 一、复习引入 问题1：我们已经学过椭圆的知识，请同学们回忆一下椭圆的定义？ 问题2：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”， 那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？ 设计意图：复习巩固旧知识，为引入双曲线定义作铺垫.激发学生兴趣，让学生带着问题学习. 二、引入新课题，探索新概念 学生探究动点形成的轨迹 ||-||=常数(右支) ||-||=常数(左支) 结论:|||-|||=常数 课件展示生活中双曲线的图片 问题3：类比椭圆定义，大家能否归纳一下双曲线的定义？ 归纳双曲线定义：平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为非零常数（小于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做双曲线. 符号定义：||MF1|-|MF2||=常数(常数<|| ) 其中F1，F2叫双曲线的焦点， |F1F2| =2c(2c＞0)叫做焦距 探究定义 问题4：为什么强调非零常数？ 如果常数等于0时，轨迹是什么？ 问题5：这个常数为什么小于||？ 当常数=||时，轨迹是什么？ 当常数＞||时，轨迹是什么？ 设计意图：类比椭圆的定义，让学生能从图中分析得到双曲线的定义，而且强调椭圆与双曲线定义的区别与联系.通过强化双曲线概念的建立过程，提高学生思维的严谨性与语言的表达能力，同时让学生获得焦点，焦距的概念. 三、推导双曲线的标准方程 问题6：类比椭圆标准方程的建立过程，如何推导双曲线的标准方程？ 1. 建系：以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1,F2的中点为原点建立直角坐标系 2. 设点：设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式：|M F1| - |M F2|=±2a 4.化简： 则有 设计意图：本环节不断刺激学生回顾椭圆的标准方程的推导过程，类比说明双曲线的标准方程推导的关键步骤.体会椭圆与双曲线的的区别与联系，同时强化求曲线方程的一般步骤. 问题7：为何要令？ 问题8:：和有没有大小关系？ 问题9：椭圆分焦点在x轴上，和y轴上两种情况？双曲线是否也有类似情况？如果有，焦点在y轴上的双曲线的标准方程如何求？ 把上面方程的x2和y2互换即可，即方程为 设计意图：形成和完善双曲线标准方程的概念. 问题10：如何根据双曲线的标准方程判断的焦点在哪个轴上？ 焦点的位置:双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上 4、 例题分析 例1.请说出下列方程所表示曲线的焦点位置及， 设计意图：判断焦点位置的方法也需要根据实例加以落实，因此故意安排椭圆方程，双曲线方程及变式要学生加以区分巩固. 例2：已知动点P到两个定点F1（-5，0），F2(5,0),距离差的绝对值等于8，求动点P的轨迹方程？ 变式一：已知动点P到两个定点F1（-5，0），F2(5,0),距离差的绝对值等于10，求动点P的轨迹方程？ 变式二：已知动点P到两个定点F1（-5，0），F2(5,0),距离差的绝对值等于12，求动点P的轨迹方程？ 设计意图：引导学生对双曲线定义中距离之差的绝对值是常数和距离之差是常数是两个不同的情况，点的轨迹是双曲线的两支还是一支，对双曲线的定义的设定有更深的认识. 例3：求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，，； （2）焦点为，，且经过点 （3）焦点在x轴上，经过点， 设计意图：通过练习，检测学生对知识掌握情况. 五、回顾总结： （1）本节课你学到了哪些知识？（2