2023-2024学年苏科版九年级数学下册知识点讲义

专题5.1 二次函数（知识讲解） 【学习目标】 1、理解二次函数的概念，识别二次函数； 2、根据二次函数表达式求参数； 3、能根据生活实际写出二次函数表达式。 【要点梳理】 【知识点1】二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零。 二次函数的定义域是全体实数。 【知识点2】二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2。 ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。 专题5.4 二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质（知识讲解） 【学习目标】 1、准确掌握二次函数y=ax2(a≠0)图象的形状、开口方向、对称轴和顶点的坐标； 2、经历用描点法画函数图象的过程,感受数形结合的思想和方法,能够由图像直观地观察得到函数的性质； 【要点梳理】 【知识点一】二次函数y=ax2(a≠0)的图象 二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。实际上，二次函数的图象都是抛物线，y轴是抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点。 用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象 （1）按步骤列表、描点、连线。 （2）用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象时，应在O（0,0）点左右两侧（或在对称轴左右两侧）对称的选取自变量x的值，在计算y的值，这样的对应值选择月密集，描出的图象越精准。通常情况下，画图一般选取9个点，草图通常取5或7个点，但必须画出抛物线的顶点，然后对称的取其他各点。实际问题应在自变量取值范围内选取适当的几个点，一般选7个点，再进行描点。连线时要注意图象的平滑，特别是顶点处更要注意，不能画得太平或者太尖，要顺势用平滑曲线连接。 【知识点2】 二次函数y=ax2(a≠0)的性质 （1）二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线。我们把二次函数y=ax2（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2(a≠0)。 （2）抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是y轴（即直线x=0），顶点是原点。 （3）当a>0时，抛物线y=ax2(a≠0) 的开口向上，顶点是它的最低点，抛物线在x轴上方（顶点在x轴上），并且向上无限延伸； 当a<0时，抛物线y=ax2(a≠0)的开口向下，顶点是它的最高点，抛物线在x轴下方（顶点在x轴上），并且向下无限延伸。 （4）当a＞0时，在y 轴左侧，y随x的增大而减小，在y 在右侧，y随x的增大而减大，函数y的值，当x=0时最小，最小值是0； 当a＜0时，在y 在左侧，y随x的增大而增大，在y 在右侧，y随x的增大而减小，函数y的值，当x=0时最大，最大值是0。 （5）当a的绝对值越大，图象越靠近y轴，抛物线开口越窄； 当a的绝对值越小，图象越远离y轴，抛物线开口越宽。 【知识点3】 二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质列表如下： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而增大； x<0时，y随x增大而减小. 当x=0时， y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而减小； x<0时，y随x增大而增大. 当x=0时， y最大=0 专题5.7 二次函y=ax2+k(a≠0)的图象与性质（知识讲解） 【学习目标】 1． 理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式； 2． 会用描点法画出二次函数的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念； 3． 掌握二次函数的图象的性质，掌握二次函数与之间的关系；（上加下减）. 【要点梳理】 一、y=ax2+c（a≠0）的性质： 形如y=ax2+c（a≠0）的二次函数，它的图像的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，c），c的符号决定抛物线由y=ax2上下平移，简单的说，就是“上加下减”。 的符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 最值 向上 轴 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时， 最小值 = c 向下 轴 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时， 最小值 = c 二、解读y=ax2+c（a≠0）： （1）函数y=ax2+c（a，c是常数，a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，c）； （2）抛物线y=ax2+c（a，c是常数，a≠0）可以看作是由抛物线y=ax2(a是常数且a≠0)向上或向下平移∣c∣个单位而得到的。当c＞0时，将抛物线y=ax2(a是常数且a≠0)向上平移c个单位；当c＜0时，将抛物线