专题7.5 正态分布【六大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.5 正态分布【六大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 正态密度函数】 2 【题型2 正态曲线的特点】 3 【题型3 利用正态曲线的对称性求概率】 4 【题型4 利用3原则求概率】 5 【题型5 标准正态分布的应用】 5 【题型6 正态分布的实际应用】 6 【知识点1 正态分布】 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地， 当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若XN(,)，则E(X)=，D(X)=. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称； (3)曲线在x=处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(-X+)0.6827； P(-2X+2)0.9545； P(-3X+3)0.9973. (2)3原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学 中称为3原则. 【题型1 正态密度函数】 【例1】（2023下·高二课时练习）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【变式1-1】（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】（2023下·湖北武汉·高二校考期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）下列是关于正态曲线性质的说法： ①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方； ②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方； ③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称； ④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低； ⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定. 其中说法正确的是（    ） A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤ 【题型2 正态曲线的特点】 【例2】（2023·全国·高三专题练习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（    ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 【变式2-2】（2023·高二单元测试）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-3】（2023下·高二课时练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用正态曲线的对称性求概率】 【例3】（2023上·福建福州·高三校考期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【变式3-1】（2023下·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）设随机变量X服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D．1 【变式3-2】（2023上·贵州黔西·高三校联考阶段练习）若随机变量，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023下·河北沧州·高二统考期末）在某项测试中，测量结果，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【题型4 利用3原则求概率】 【例4】（2023下·四川宜宾·高二统考期末）某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（    ）附：若，则，