2024年集英苑冬季竞赛高中数学试题

绝密 ★ 启用前 2024年集英苑冬季赛 数 学 姓名 准考证号 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共3页，满分150分，考试时间 140分钟。 选择题部分 (共40 分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5 分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. log₂4 = A. - 1 B.0 C.1 D.2 2.平面向量 a = (1,1) ,b = (2,3) ,则|a +b|= A.3 B.5 C.7 D.11 3.已知实数x，y满足约束条件 该约束条件在坐标平面上表示的区域如图所示，则y的取值范围是 A.[-2,2] B.[-1,1] C.[-2,1] D.[-1,2] 4.已知等比数列 {an} 满足 若 ,则 n = A.2 B.3 C.4 D.5 5.设a,b ∈ R ,集合 则“ A = B”是“ a = b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某考试评定考生成绩时，采取赋分制度：只有原始分排名前3%的同学才能赋分97 分及以上.若这些学生的原始分的最大值为a,最小值为b,令f(x)为满足f(a) = 100,f(b) = 97 的一次函数. 对于原始分为x(b≤x≤a)的学生，将f(x)的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分96，赋分100；小叶原始分81，赋分97；小林原始分89，他的赋分是 A.97 B.98 C.99 D.98 或99 数学试题第 1 页(共3 页) 7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知 则 tan A = C.1 D. 8.随机事件A,B,C满足P(A|B) +P(B|C) +P(C|A)=1, ,则P(A) +P(B) +P(C)的取值范围是 D.(0,2) 非选择题部分 (共110 分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 9. 函数 的最小正周期是 . 10.椭圆 经过双曲线 的焦点,则 a = . 11.已知圆锥AO 的高等于底面半径r，则圆锥 AO 与半径为r的球的表面积之比是 . 12.若数列{an}满足对任意n ∈ N·, 数列{an}的前 n² .项至少有 n项大于 n，且( 则称数列{an}具有性质 M².若存在具有性质 M²的数列{an}，使得其前n项和. 恒成立，则整数λ的最小值是 . 三、解答题：本大题共5 小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13.(本题满分 15 分)如图，已知三棱柱 ABC—A₁B₁C₁ ,AC₁ ⊥平面A₁B₁C₁ ,AB⊥ BC. D,E 分别是 BC₁,AC₁ 的中点. (Ⅰ)证明:DE ∥ 平面A₁B₁C₁; (Ⅱ)设 AC₁ 与平面ABB₁A₁所成角的大小是α,若AD ⊥ BC₁ ,证明:∠BAC = α. 14.(本题满分 15 分)设 a ∈ R,函数 (Ⅰ )当a = 0时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)是否存在a,使得f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数,且g(x)是( 上的单调递增函数? 若存在，试求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 数学试题第 2 页(共3页) 15.(本题满分20 分)设M 是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A 的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且CₛₚA中的数对应的点都在圆外，则称A是一个 M的“可分离子集”. (Ⅰ )判断{1,2,3}是否是{i,1,2,3} 的“可分离子集”,并说明理由; (Ⅱ)设复数z满足0< Re(z