北京市第八十中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试卷

2023北京八十中高三10月月考 数 学 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。 1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∪B＝（　　） A．{3} B．{1，2，3，4，5} C．{1，2，3，3，4，5} D．{1，2} 2．已知向量，满足+＝（2，3），﹣＝（﹣2，1），则||2﹣||2＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 3．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　） A．y＝﹣x+1 B．y＝（x﹣1）2 C．y＝|lnx| D．y＝x 4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α C．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α D．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α 5．若a，b∈R+，则“a+b＝2”是“ab≤1”的（　　） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M（3，4），则sin2θ的值为（　　） A． B． C． D． 7．若函数f（x）满足f（x）﹣x＝2f（2﹣x），则f（3）＝（　　） A．﹣1 B． C． D．1 8．在Rt△ABC中，||＝||＝4，D是以BC为直径的圆上一点，则||的最大值为（　　） A．12 B．8 C．5 D．6 9．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若AB＝25m，BC＝AD＝10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（　　） A．102m B．112m C．117m D．125m （多选）10．空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线．悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为f（x）＝aex+be﹣x（其中a，b为非零常数），则对于函数y＝f（x）以下结论正确的是（　　） A．若a＝b，则y＝f（x）为偶函数 B．若a＝1，b＝2，则函数y＝f（x）﹣3的零点为0和ln2 C．若ab＝1，则函数y＝f（x）的最小值为2 D．若y＝f（x）为奇函数，且∃x∈（﹣∞，0）使e2x+e﹣2x+f（x）≤0成立，则a的最小值为 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11．（5分）已知函数f（x）＝4x+log2x，则f（）＝　 　． 12．（5分）若向量＝（1，x），＝（2，1），且⊥，且||＝　 　． 13．（5分）设函数f（x）＝﹣sin2x，若f（x+t）是偶函数，则t的一个可能值是　 　． 14．（5分）已知λ∈R，函数，当λ＝1时，不等式f（x）＞0的解集是 　 　．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是 　 　． 15．（5分）已知无穷项数列{an}满足：an+2＝an+an+1（n＝1，2，3，⋯），a1，a2为有理数，给出下列四个结论： ①若a3＞a2＞a1，则数列{an}单调递增； ②数列{an}可能为等比数列； ③若存在k0∈N*，k0≥3，，则对于任意n≤k0﹣2，总有anan+1≤0． ④若存在M＞0，对于任意n∈N*，总有|an|＜M，则an＝0． 其中全部正确结论的序号为 　 　． 三、解答题：本大题共6小题，共70分。 16．（10分）在公差不为0的等差数列{an}中，a4＝5，且a2，a3，a6成等比数列． （1）求{an}的通项公式和前n项和Sn； （2）设，求数列{bn}的前n项和公式Tn． 17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，M，N分别为棱PD，BC的中点，PA＝AB＝2． （Ⅰ）求证：MN∥平面PAB； （Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值． 18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （Ⅰ）求∠B的值； （Ⅱ）给出以下三个条件： 条件①：a2﹣b2+c2+3c＝0； 条件②：a＝，b＝1； 条件③：S△ABC＝． 这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题： （ⅰ）求sinA的值； （ⅱ）求∠ABC的角平分线BD的长． 19．（12分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝（﹣ax）f（x）+2ax﹣（a∈R）． （1）证明：f（x）＜x； （2）求函数g（