16.1 二次根式（题型·技巧培优系列）-2023-2024学年八年级数学下册同步精讲精练（人教版）

八年级下册数学《第十六章 二次根式》 16.1 二 次 根 式 知识点一 二次根式的定义 ★1、二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数. ①二次根式的条件：①含有二次根号；②被开方数是一个非负数； ②被开方数a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子. 【注意】二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“ ”，不能从化简结果上判断，如是二次根式；“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有. 知识点二 二次根式有意义的条件 ★1、二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为非负数，反之也成立.即：有意义=> a≥0, 无意义， a＜0. ★2、【规律方法】 二次根式有无意义的条件：如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 3．如果一个式子中含有二次根式且被开方数中含有零指数幂或负整数指数幂，那么它有意义的条件是：底数不为0. 4．当二次根式的被开方数出现完全平方公式或能配方成完全平方公式时，其中所含字母取任意实数，二次根式在实数范围内都有意义. 知识点三 二次根式的性质 ★1、 的性质： 0； a≥0（双重非负性）． ★2、（）2（a≥0）的性质：（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ★3、 的性质： |a|（算术平方根的意义）． ★4、（）2（a≥0） 与 的区别与联系.（可以从以下几个方面来说明） （）2（a≥0） 区 别 取值范围 a≥0 a为任意实数 表示的意义 表示非负数a的算术平方根的平方 表示a2的算术平方根 运算顺序 先开平方后平方 先平方后开平方 运算结果 （）2＝a （a≥0） 读法 读作：“根号a的平方”或“a的算术平方根的平方” 读作：“根号”或“a的平方的算术平方根” 联 系 （1）结果都是非负数；（2）当a≥0时，＝（）2 知识点四 代数式 ★1、定义：用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式. 【注意】代数式是数或字母之间的运算关系，代数式中只能含运算符号，不能含≥，＞，≤，＜，≠，＝等关系符号. ◆2、列代数式的常用方法： ①直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式； ②公式法：根据公式列出代数式； ③探究规律法：将一组数或一组图形的排列规律用代数式表示出来. 题型一 二次根式的识别 【例题1】（2023秋•衡山县期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 解题技巧提炼 判断一个式子是否为二次根式，要紧扣满足二次根式的两个条件： （1）含有二次根号“”；（2）被开方数是非负数，两个条件缺一不可. 【变式1-1】（2021秋•九台区期末）下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023秋•射洪市校级期中）已知下列各式：，，，，，其中二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（2022秋•东明县期末）给出下列各式：；②6；；④（m≤0）；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-4】（2023秋•昌江区期中）下列各式：① ② ③ ④，其中一定是二次根式的是 　　 ．（只填序号） 【变式1-5】（2023春•密云区校级期末）在式子①，②，③，④，⑤，⑥中，是二次根式的有 　 　（填写序号）． 题型二 二次根式有意义的条件 【例题2】（2023秋•南安市期末）若有意义，则x的值可以是（　　） A．6 B．1 C．﹣1 D．﹣2 解题技巧提炼 求式子有意义时字母的取值范围方法： 第一步,明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式，只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数;对于零指数幂,则必须满足底数不能为零;对于含有分式的、满足分母不能为零. 第二步,利用使式子有意义的所有条件,建立不等式或不等式组； 第三步,求出不等式或不等式组的解集,即为字母的取值范围. 【变式2-1】（2023秋•镇海区校级期末）使有意义的x的取值范围是（　　） A．x＞2024 B．x＜﹣2024 C．x≤2024 D．x≥2024 【变式2-2】（2023秋•南昌期末）当x＝2时，下列二次根式没有意义的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023秋•绥化期末）当有意义时，a的取值范围是（　　） A．a≥3 B．a＞