3.8 二次函数的线段、周长最值问题-【智乐星中考·中考备战】2024年山东省中考数学精练本

第八节　二次函数的线段、周长最值问题 1．(改编题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－x＋2交x轴于点A，B，交y轴于点C. (1)求△ABC的面积； (2)如图，过点C作射线CM，交x轴的负半轴于点M，且∠OCM＝∠OAC，P为线段AC上方抛物线上的一点，过点P作AC的垂线交CM于点G，求线段PG的最大值及点P的坐标． 2．如图，若直线y＝x－与y轴交于点A，与 x轴交于点B，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A，点B，且抛物线的对称轴为直线 x＝2. (1)求二次函数的解析式； (2)若P为直线AB下方抛物线上一点，过点P作直线AB的垂线，垂足为E，作PF∥y轴交直线AB于点F，求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标． 参考答案 1．解：(1)在y＝－x2－x＋2中，令x＝0，则y＝2， ∴C(0，2)，∴OC＝2. 令y＝0，则－x2－x＋2＝0， 解得x1＝1，x2＝－4， ∴A(－4，0)，B(1，0)，∴AB＝1－(－4)＝5， ∴S△ABC＝AB·OC＝×5×2＝5. (2)如图，过点P作PN∥y轴，交AC于点T，交CM于点N，交x轴于点K，过点G作GH⊥PN于点H， 则∠PNG＝∠OCM，∠PHG＝∠AKT＝90°. ∵PG⊥AC， ∴∠PET＝90°＝∠AKT， ∴∠PTE＋∠TPE＝90°， ∠OAC＋∠ATK＝90°. ∵∠PTE＝∠ATK， ∴∠TPE＝∠OAC. ∵∠OCM＝∠OAC， ∴∠PNG＝∠TPE＝∠OAC， ∴PG＝NG. ∵GH⊥PN，∴PH＝PN. ∵tan∠OAC＝tan∠OCM，∴＝，即＝， ∴OM＝1，∴M(－1，0)． 设直线CM的解析式为y＝kx＋b. ∵M(－1，0)，C(0，2)， ∴解得 ∴直线CM的解析式为y＝2x＋2. 设P(m，－m2－m＋2)，则N(m，2m＋2)， ∴PN＝－m2－m＋2－(2m＋2)＝－m2－m， ∴PH＝PN＝－m2－m. ∵AC＝＝＝2， ∴＝cos∠TPE＝cos∠OAC＝＝＝， ∴PG＝PH＝－m2－m＝－(m＋)2＋， ∴当m＝－，PG最大，最大值为， ∴当点P的坐标为(－，)时，PG最大，最大值为. 2．解：(1)当x＝0时，y＝－.∴A(0，－)． 当y＝0时，x＝5，∴B(5，0)． ∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴－＝2，∴b＝－4a. 将点A，B代入y＝ax2＋bx＋c中， ∴解得 ∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－. (2)∵PF∥y轴，PE⊥AB， ∴∠PFE＝∠OAB，∠PEF＝∠AOB＝90°， ∴∠EPF＝∠OBA. ∵OB＝5，OA＝，∴tan∠OBA＝，∴PE＝2EF， ∴EF＝PF，PE＝PF， ∴△PEF周长＝(1＋)PF. 设P(t，t2－2t－)，则F(t，t－)， ∴PF＝t－－(t2－2t－)＝－t2＋t＝ (t－)2＋， ∴△PEF周长＝(1＋)PF＝－(1＋)(t－)2＋ (1＋)， ∴当t＝时，△PEF的周长有最大值＋， 此时P(，－)． 学科网（北京）股份有限公司 $$