43 方法专题八 “隐形圆”的运用-【智乐星中考·中考备战】2024年山东省中考数学精讲本

方法专题八　“隐形圆”的运用 类型1　定点定长辅助圆 模型依据 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆． 其中，定点称为圆心，定长称为半径 衍生模型 模型 条件 作法 结论 已知平面内一定点A和一动点B，AB长度固定 找定点，寻定长，现“圆”形 动点B在以点A为圆心，AB 长为半径的圆上 已知AB＝AC＝AD 点B，C，D在以点A为圆心，AB长为半径的圆上 1.如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为(　　) A．68° B．88° C．90° D．112° 【作图提示】 定点是________，定长是____________，找出圆心________和半径________________________，作圆即可． 2．如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD2的值为(　　) A．14 B．15 C．18 D．12 【作图提示】 定点是________，定长是____________________________，找出圆心________和半径________________________，作圆即可． 3．如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PBE沿PE折叠，得到△PFE，连接CF.若AB＝10，BC＝12，则CF的最小值为________． 【作图提示】 定点是________，定长是____________________________，找出圆心________和半径________________________，作圆即可． 类型2　点圆最值 问题 平面内两定点O，D，动点E到定点O的距离相等，若OD＝d，⊙O的半径为r，求DE的最大值或最小值 作法 以点O为圆心，OE为半径作⊙O，连接OD，直线OD交⊙O于点E 作图 结论 当点D在⊙O外时，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为d－r 当点D在⊙O上时，DE的最大值为2r，DE的最小值为0 当点D在⊙O内时，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为r－d 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，点M是BC的中点，点P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是(　　) A．8 B．6 C．4 D．5 【作图提示】 连接PC，由题意可知，点P在以________为圆心，________为半径的圆上运动．根据三角形三边关系可知____________________，进而求得PM的最大值． 5．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C 长度的最小值是(　　) A. B.－1 C. D．2 【作图提示】 由题意可知，点A′在以________为圆心，________为半径的右半圆上运动，A′C≥MC－MA′，当M，A′，C三点共线时，可求得A′C的最小值． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AB边的中点，点F是BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是________． 【作图提示】 由题意可知，点B′在以________为圆心，________为半径的圆上运动，当E，B′，D三点共线时，可求出B′D的最小值． 类型3　线圆最值 问题 若OH＝d，⊙O的半径为r，在⊙O上找一点P，使得点P到直线l的距离PH有最大值和最小值 作法 过点O作OH⊥l，垂足为H，交⊙O于点P，或反向延长交于点P 作图 结论 当直线l与⊙O相离时，PH的最大值为d＋r，最小值为d－r 当直线l与⊙O相切时，PH的最大值为2r，最小值为0 当直线l与⊙O相交时，PH的最大值为d＋r，最小值为r－d 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6.点E是边AD的中点，点P是线段AE上一动点．将△ABP沿BP折叠得到△A′BP，连接A′E，A′C.当△A′CE的面积最小 时，点A′到CE的距离为(　　) A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 【作图提示】 由题意可知，点A′在以________为圆心，________为半径的圆上运动，当BA′的延长线垂直于EC时，△A′CE的面积最小，可求得A′到CE的距离. 类型4　利用圆周角定理构造辅助圆 模型依据 推论：半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径 衍生模型 模型 条件 作法 结论 已知△AB