40 6.1 圆的有关概念与性质-【智乐星中考·中考备战】2024年山东省中考数学精讲本

数学 2024 山东 精讲本 1 第六章　圆 2 第一节　圆的有关概念与性质 圆的有关概念 1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆． 其中，定点称为_____，定长称为_____． 知识点1 圆心 半径 3 2．与圆有关的概念 (1)弧：圆上任意_______的部分． (2)弦：连接圆上任意两点的_______． (3)直径：经过_______的弦． (4)等圆：能够重合的两个圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧． (5)圆心角：顶点在_______的角． (6)圆周角：顶点在_______，两边分别与圆还有另一个交点． 两点间 线段 圆心 圆心 圆上 4 圆的有关性质 1．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过_______的直线(或任意 一条直径所在的直线)，有_______条对称轴． (2)圆是中心对称图形，对称中心为_____． 知识点2 圆心 无数 圆心 5 【方法指导】 根据圆的对称性可知，圆具有旋转不变性，即圆围绕它的圆心旋转任意角度，所得的圆与原图重合． 6 2．圆心角、弧、弦之间的关系 (1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_____，所对的弦也 _______． (2)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 _______，所对的弦______． (3)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 _______，所对的优弧和劣弧分别_______． 相等 相等 相等 相等 相等 相等 7 【方法指导】 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量都分别相等． 8 3．垂径定理及其推论 (1)垂径定理：垂直于弦的直径_______弦，并且_______弦所对的两条 弧． (2)推论：①平分弦(不是直径)的直径_____于弦，并且______ 弦所对 的两条弧． ②弦的垂直平分线经过_______，并且平分弦所对的两条弧． ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且_______另一条弧． 平分 平分 垂直 平分 圆心 平分 9 【方法指导】 垂径定理及其推论实质上是指满足下列结论的一条直线：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．如果已知这五个结论中的两个结论，那么可以推出另外三个结论． 10 4．圆周角定理及其推论 (1)定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 _____． (2)推论：①同弧或等弧所对的圆周角_______； ②半圆(或直径)所对的圆周角是_______；90°的圆周角所对的弦是 _______． 5．圆内接多边形 (1)圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这 个多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆． (2)圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角_______； ②圆内接四边形的任意一个角的外角都等于它的 _______． 一半 相等 直角 直径 互补 内对角 11 确定圆的条件 1．不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 2．三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆．外接 圆的圆心是三角形三边 ___________的交点，叫作三角形的外心. 知识点3 垂直平分线 12 弧、弦、圆心角之间的关系 如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是 的中点，则∠D的度数是(　　) A．70° B．55° C．35.5° D．35° 连接OB，构造圆心角． 命题点1 13 如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是(　　) A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D 14 垂径定理及其推论 (2023·东营16题4分)【数学文化】“圆材埋壁”是我国古代数 学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大 小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．转换为现在 的数学语言就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝ 1寸，AB＝10 寸，则直径CD的长度是______寸． 作辅助线连接OA，构造直角三角形． 命题点2 26 15 在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C.若OC∶OB＝3∶5，则DE的长为(　　) A．6 B．9 C．12 D．15 16 圆周角定理及其推论 (2023·枣庄7题3分)如图，在⊙O中，弦AB，CD