24 3.11 二次函数中特殊四边形存在性问题-【智乐星中考·中考备战】2024年山东省中考数学精讲本

数学 2024 山东 精讲本 1 二次函数中特殊四边形存在性问题 解题方法： 1．平行四边形存在性 (1)坐标平移法：通过点的平移，求坐标； (2)中点坐标公式法：平面直角坐标系中以点A，B，C，D为顶点的平行四边形坐标满足： 第十一节　二次函数中特殊四边形存在性问题 2 3 4 5 4．正方形存在性 (1)在菱形的基础上满足有一个角是直角或对角线相等即可； (2)在矩形的基础上满足邻边相等或对角线垂直即可． 6 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－ x2－ x＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以点A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 母题分析：典型的已知两点找平行四边形存在性的问题，重点在于通过分类讨论找到存在点的坐标． 7 8 9 10 求菱形存在点坐标 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－3，0)和B(1，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标； (2)将抛物线L沿点B，D所在的直线平移，平移后点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′，当四边形 BB′C′C 是菱形时，求此时平移后的抛物线的解析式． 11 12 13 14 求矩形存在点坐标 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝ax＋a与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D.设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 15 16 17 18 19 20 求正方形存在点坐标 若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－2，0)，B(0，－4)，其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C. (1)求二次函数的解析式； (2)若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴 于点N.以MN为对角线作正方形MPNQ(点P在MN右侧，Q为 平面内一点)，当点P在抛物线上时，求点M的坐标． 21 22 23 24 ①AC为对角线，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xC＝xB＋xD，,yA＋yC＝yB＋yD；)) ②AB为对角线，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xB＝xC＋xD，,yA＋yB＝yC＋yD；)) ③AD为对角线，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xD＝xC＋xB，,yA＋yD＝yC＋yB.)) 2．菱形存在性 先平行四边形，再菱形，设点坐标，根据平行四边形存在性要求列出方程组，再结合邻边相等列方程组，如菱形ABCD： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xC＝xB＋xD，,yA＋yC＝yB＋yD，,（xA－xB）2＋（yA－yB）2＝（xC－xB）2＋（yC－yB）2，)) 代入点坐标解方程即可． 3．矩形存在性 先平行四边形，再矩形，设点坐标，根据平行四边形存在性要求列出方程组，再结合对角线相等列方程组，如矩形ABCD： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xC＝xB＋xD，,yA＋yC＝yB＋yD，,（xA－xC）2＋（yA－yC）2＝（xB－xD）2＋（yB－yD）2，)) 代入点坐标解方程即可． 解：存在． 理由如下： 假设存在点Q，使以点A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形． ①若CM为平行四边形的一边时，则CM∥x轴，如图，有符合要求的两个点Q1，Q2，此时Q1A＝Q2A＝CM. ∵CM∥x轴， ∴点M与点C(0，2)关于对称轴直线x＝－1对称， ∴M(－2，2)，∴CM＝2. 由Q1A＝Q2A＝CM＝2得Q1(－5，0)，Q2(－1，0)； ②若CM为平行四边形的对角线时，如图，过点M作 MG⊥x轴于点G， 易证△MGQ≌△COA，得QG＝OA＝3，MG＝OC＝2， 即yM＝－2. 设M(x，－2)，则－eq \f(2,3)x2－eq \f(4,3)x＋2＝－2，解得x＝－1±eq \r(7). 又∵QG＝3，∴xQ＝xG＋3＝2±eq \r(7)， ∴Q3(2＋eq \r(7)，0)，Q4(2－eq \r(7)，0)． 综上所述，存在点Q，使以点A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为(－5，0)或(－1，0)或(2＋eq \r(7)，0)或(2－eq \r(7)，0)． 解：(1)把A(－3，0)和B(1，0)分别代入抛物线 L