23 3.10 二次函数中特殊三角形存在性问题-【智乐星中考·中考备战】2024年山东省中考数学精讲本

数学 2024 山东 精讲本 1 二次函数中特殊三角形存在性问题 1．等腰三角形存在性 已知条件：若A(xA，yA)，B(xB，yB)为已知点，C为x轴上一点，为所求点． 利用距离公式求坐标： (1)设点：设点C的坐标为(m，0)； 第十节　二次函数中特殊三角形存在性问题 2 (2)表示线段的平方： AB2＝(xA－xB)2＋(yA－yB)2， AC2＝(xA－m)2＋yA2，BC2＝(xB－m)2＋yB2； (3)分类讨论： ①AB2＝AC2，即(xA－xB)2＋(yA－yB)2＝(xA－m)2＋yA2； ②AB2＝BC2，即(xA－xB)2＋(yA－yB)2＝(xB－m)2＋yB2； ③AC2＝BC2，即(xA－m)2＋yA2＝(xB－m)2＋yB2； (4)求解得点C的坐标． 3 2．直角三角形存在性 利用勾股定理求坐标： (1)设点：设出点C的坐标； (2)表示线段：利用两点间距离公式分别表示出AB，AC，BC的长； (3)分类讨论： ①当点A为直角顶点时，AB2＋AC2＝BC2； ②当点B为直角顶点时，AB2＋BC2＝AC2； ③当点C为直角顶点时，AC2＋BC2＝AB2； (4)代入列方程，求解． 4 3．等腰直角三角形存在性 利用边相等＋勾股定理： 设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，O(xO，yO)． ①∠P＝90°. 5 6 7 (注：一般考查相似三角形存在性问题时，两个三角形中会隐含一组角相等，做此类问题第一步要先找等角，从而确定好一组对应顶点，再去分类讨论．) 8 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－ x2－ x＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△BCQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 母题分析：典型的等腰三角形存在性问题，涉及等腰三角形的性质，重点在于要分类讨论，根据等腰三角形两腰相等列关系式求解． 9 10 11 12 13 求直角三角形存在点坐标 在核心母题中的二次函数基础上，如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为直角三角形；若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14 15 16 求等腰直角三角形存在点坐标 在核心母题中的二次函数基础上，如图，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 17 18 19 求相似三角形存在点坐标 在核心母题中的二次函数基础上，如图，点Q是直线AC上方抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E.是否存在点Q，使以点B，Q，E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 20 21 22 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PO2＝PQ2，,PO2＋PQ2＝OQ2))⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（xO－xP）2＋（yO－yP）2＝（xP－xQ）2＋（yP－yQ）2，,（xO－xP）2＋（yO－yP）2＋（xP－xQ）2＋（yP－yQ）2＝,（xO－xQ）2＋（yO－yQ）2；)) ②∠Q＝90°. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(QO2＝QP2，,QO2＋QP2＝OP2))⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（xQ－xO）2＋（yQ－yO）2＝（xQ－xP）2＋（yQ－yP）2，,（xQ－xO）2＋（yQ－yO）2＋（xQ－xP）2＋（yQ－yP）2＝,（xO－xP）2＋（yO－yP）2；)) ③∠O＝90°. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OP2＝OQ2，,OP2＋OQ2＝PQ2))⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（xO－xP）2＋（yO－yP）2＝（xO－xQ）2＋（yO－yQ）2，,（xO－xP）2＋（yO－yP）2＋（xO－xQ）2＋（yO－yQ）2＝,（xP－xQ）2＋（yP－yQ）2.)) 4．相似三角形存在性 已知条件：若以点A，B，C为顶点的三角形与已知△DEF相似，其中∠ABC＝∠DEF. 分类讨论：①由△ABC∽△DEF得eq \f(AB,DE)＝eq \f(BC,EF)； ②由△CBA∽△DEF得eq \f(AB,FE)＝eq \f(BC,ED). 特殊地，∠ABC＝∠DEF＝90°时，可借助tan∠BAC＝tan∠EDF或tan∠BCA＝tan∠EDF 解答问题． 解：存在． 理由如下： 由题易知抛物线的对称轴为直线x＝－1， 设点Q的坐标为(－1，m)． ∵点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，2)， ∴CQ2＝