22 3.9 二次函数的面积问题-【智乐星中考·中考备战】2024年山东省中考数学精讲本

数学 2024 山东 精讲本 1 二次函数的面积问题 第九节　二次函数的面积问题 2 3 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－ x2－ x＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.点Q是直线AC下方的抛物线上一动点，是否存在点Q，使S△ACQ＝10？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 母题分析：典型的三边都不平行坐标轴的三角形的面积问题，是函数中最为常见的设问，一般用铅垂法或和差法求解． 4 5 6 求三角形面积最大值及存在点坐标 在核心母题中的二次函数基础上，如图，点M是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM的面积最大？若存在，求出点M的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 7 8 9 求四边形面积最大值及存在点坐标 在核心母题中的二次函数基础上，如图，点P是直线AC上方的抛物线上一动点，设四边形APCB的面积为S，求S的最大值及此时点P的坐标． 10 11 12 解：存在． 如图，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，QC. 设Q(m，－eq \f(2,3)m2－eq \f(4,3)m＋2)，则QE＝－m，OE＝eq \f(2,3)m2＋eq \f(4,3)m－2，CE＝eq \f(2,3)m2＋eq \f(4,3)m， ∴S△ACQ＝S梯形AOEQ＋S△AOC－S△CEQ＝eq \f(1,2)(3－m)×(eq \f(2,3)m2＋eq \f(4,3)m－2)＋eq \f(1,2)×3×2－eq \f(1,2)(eq \f(2,3)m2＋eq \f(4,3)m)×(－m) ＝10， 整理得m2＋3m－10＝0，解得m1＝－5，m2＝2， ∴点Q的坐标为(－5，－8)或(2，－eq \f(10,3))． 解：存在． 理由如下： 如图，过点M作MN⊥x轴交AC于点N. ∵S△ACM＝eq \f(1,2)|xA－xc|·MN＝eq \f(3,2)MN， ∴当MN的值最大时，S△ACM取得最大值． 易知C(0，2)，设点M的坐标为(x，－eq \f(2,3)x2－eq \f(4,3)x＋2)． 设直线AC的解析式为y＝kx＋b.将A(－3，0)，C(0，2)代入 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3k＋b＝0，,b＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(2,3)，,b＝2，)) ∴直线AC的解析式为y＝eq \f(2,3)x＋2， 则点N的坐标为(x，eq \f(2,3)x＋2)， ∴MN＝－eq \f(2,3)x2－eq \f(4,3)x＋2－eq \f(2,3)x－2＝－eq \f(2,3)x2－2x＝－eq \f(2,3)(x＋eq \f(3,2))2＋eq \f(3,2). ∵－eq \f(2,3)<0，∴当x＝－eq \f(3,2)时，线段MN的长有最大值，最大值为eq \f(3,2)， 此时S△ACM＝eq \f(3,2)×eq \f(3,2)＝eq \f(9,4)，∴当M(－eq \f(3,2)，eq \f(5,2))时，面积取最大值，最大值为eq \f(9,4). 解：令x＝0，则y＝2，∴C(0，2)． 设直线AC的解析式为y＝kx＋p. ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝2，,－3k＋p＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(2,3)，,p＝2，)) ∴直线AC的解析式为y＝eq \f(2,3)x＋2. 如图，过点P作PG∥y轴交AC于点G. 设P(t，－eq \f(2,3)t2－eq \f(4,3)t＋2)，则G(t，eq \f(2,3)t＋2)， ∴PG＝－eq \f(2,3)t2－eq \f(4,3)t＋2－eq \f(2,3)t－2＝－eq \f(2,3)t2－2t， ∴S＝S四边形APCB＝S△ACB＋S△APC＝eq \f(1,2)×2×(3＋1)＋eq \f(1,2)×3× (－eq \f(2,3)t2－2t)＝－t2－3t＋4＝－(t＋eq \f(3,2))2＋eq \f(25,4). ∵点P是直线AC上方， ∴－3＜t＜0，∴当t＝－eq \f(3,2)时，S有最大值，最大值为eq \f(25,4)， 此时，点P的坐标为(－eq \f(3,2)，eq \f(5,2))． $$