21 3.8 二次函数的线段、周长最值问题-【智乐星中考·中考备战】2024年山东省中考数学精讲本

数学 2024 山东 精讲本 1 二次函数的线段、周长最值问题 1．单线段最值 (1)垂直线段：求垂直于x轴的线段的最值问题，首先通过函数的关系式设出关键点的坐标，一般设横坐标为x，纵坐标用函数关系式表示，用线段两端点的纵坐标表示出线段的长度，通过二次函数的性质求最值． 第八节　二次函数的线段、周长最值问题 2 (2)斜线段：可过线段端点分别作x轴、y轴的垂线构造直角三角形，利用勾股定理或者相似转化求解，将斜线段转化为垂直线段，再利用二次函数的性质求最值． 3 2．线段和(差)最值(将军饮马) (1)两点一线 4 5 (2)一点两线 6 (3)两点两线 7 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx ＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴 交于点C. (1)求这个二次函数的解析式； (2)点M为直线AC上方抛物线上一动点，过点M作 MN∥y 轴交直线AC于点N, 当点M的坐标为多少时，线段MN的长有最大值？并求出其最大值． 母题分析：此题是二次函数有关线段、周长最值中，最基础的一类问题，重点在于将线段的长度用二次函数的解析式表示，利用二次函数的增减性求最值． 8 9 10 11 求线段和最小值及存在点坐标 在核心母题求出的二次函数基础上，如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QC＋QB的值最小？若存在，求出点Q的坐标及QC＋QB的最小值；若不存在，请说明理由． 12 13 14 求线段差最大值及存在点坐标 在核心母题求出的二次函数基础上，如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使|QA－QC|的值最大？若存在，求出点Q的坐标及|QA－QC|的最大值；若不存在，请说明理由． 15 16 17 求三角形周长最大值及存在点坐标 在核心母题求出的二次函数基础上，如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，过点M作MN∥y轴交直线AC于点N, 作ME⊥AC于点E，当△MEN的周长有最大值时求出点M的坐标，并求出△MEN周长的最大值． 18 19 20 求三角形周长最小值及存在点坐标 在核心母题求出的二次函数基础上，如图，点Q，P分别是抛物线的对称轴、直线BC上的动点，△OQP的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时点Q的坐标及△OQP的周长的最小值；若不存在，请说明理由． 21 22 23 24 求四边形周长最小值及存在点坐标 在核心母题求出的二次函数基础上，如图，若点D为OC的中点，点P是抛物线对称轴上一动点，点Q是x轴上一动点，求当四边形CPQD的周长最小时点P，Q的坐标，并求出四边形CPQD周长的最小值． 25 26 求线段比值最大值及存在点坐标 在核心母题求出的二次函数基础上，如图，点M为直线AC上方抛物线上 一动点，连接MO，交AC于点D，当 的值最大时，求点M的坐标及 的最大值． 27 28 29 解：(1)把A(－3，0)，B(1，0)分别代入y＝ax2＋bx＋2中得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝9a－3b＋2，,0＝a＋b＋2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(2,3)，,b＝－\f(4,3)，)) ∴二次函数的解析式为y＝－eq \f(2,3)x2－eq \f(4,3)x＋2. (2)易知C(0，2)，设点M的坐标为(x，－eq \f(2,3)x2－eq \f(4,3)x＋2)． 设直线AC的解析式为y＝kx＋b.将A(－3，0)，C(0，2)代入得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3k＋b＝0，,b＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(2,3)，,b＝2，))∴直线AC的解析式为y＝eq \f(2,3)x＋2， 则点N的坐标为(x，eq \f(2,3)x＋2)， ∴MN＝－eq \f(2,3)x2－eq \f(4,3)x＋2－eq \f(2,3)x－2＝－eq \f(2,3)x2－2x＝－eq \f(2,3)(x＋eq \f(3,2))2＋eq \f(3,2). ∵－eq \f(2,3)<0，当x＝－eq \f(3,2)时，线段MN的长有最大值，最大值为eq \f(3,2)， 此时，点M的坐标为(－eq \f(3,2)，eq \f(5,2))． 解：存在． 理由如下： 如图，连接AC，BQ. ∵Q为抛物线对称轴上一点，∴QA＝QB， ∴QC＋QB＝QC＋QA. 当Q，A，C三点共线时，QB＋QC的值最小． 直线AC与抛物线对称轴的交点即为点Q. 设直线AC的解析式为y＝kx＋b， 则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3k＋b＝0，,b＝2，))解得eq \