19 方法专题三 平面直角坐标系中的面积问题-【智乐星中考·中考备战】2024年山东省中考数学精讲本

方法专题三　平面直角坐标系中的面积问题 类型1　一条边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的三角形的面积) 类型依据 依据：三角形的面积公式：底×高× 衍生模型 以在坐标轴(或平行于坐标轴)上的边为底，再作底边上的高，利用公式求面积 图形 结论 S△ABC＝AB·CD S△ABC＝BC·AD S△ABC＝AB·CD 1.如图，在△ABC中，点A，B，C的坐标分别为(1，0)，(6，0)，(2，4)，求△ABC的面积． 2．如图，经过点B(1，0)的直线l1与直线l2：y＝2x＋4相交于点P(－1，n)． (1)求n的值； (2)求△PAB的面积． 类型2　三条边都不在坐标轴上(或不平行于坐标轴)的三角形的面积 类型依据 依据：三角形的面积公式：底×高× 等量转化思想 解题方法 图形 辅助线作法 结论 过动点P作y轴的平行线，与定线段AB交于点Q 铅垂法(作和)： S△ABP＝S△APQ＋S△BPQ ＝PQ .|xA－xB| 过动点P作y轴的平行线，与定线段AB的延长线交于点Q 铅垂法(作差)： S△ABP＝S△APQ－S△BPQ＝PQ .|xA－xB| 连接OP 和差法(分割求和、补形作差)： S△ABP＝S△AOP＋S△BOP－S△AOB l1∥l2∥l3 转化法(同底等高)： S△ACB＝S△ABM＝S△ABN 3.如图，在△AOB中，点A，O，B的坐标分别是(1，5)，(0，0)，(4，2)，求△AOB的面积． 4．如图，已知正比例函数y1＝x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A(3，n)和点 B. (1)求n和k的值； (2)如图，以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE，OE，求△AOE的面积． 类型3　一条边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的四边形的面积) 类型依据 依据： 1．四边形可分割出梯形、三角形等； 2．等量转化思想 解题方法 图形 辅助线作法 结论 以在坐标轴上的边为底，利用和差法将不规则图形分割成几个规则图形计算面积 方法1：S四边形ABCD＝S△AED＋ S梯形DEFC＋S△CFB 方法2：S四边形ABCD＝S梯形DABH －S△DGC－S梯形GCBH 5.如图，四边形OABC在平面直角坐标系内，O，A，B，C四点的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(5，4)，(6，0)，求四边形OABC的面积． 6．如图，一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的坐标为(m，2)，点B的坐标为(－4，n)，OA与x轴正半轴夹角的正切值为，AE⊥x轴，直线AB交y轴于点C，过点C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD，BD. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求四边形OCBD的面积． 类型4　三条边都不在坐标轴上(或不平行于坐标轴)的四边形的面积 类型依据 依据： 1．三角形的面积公式：底×高×； 2．等量转化思想 解题方法 图形 辅助线作法 结论 将四边形沿对角线分割成2个三角形求面积 和差法： S四边形ABCD＝S△ADC＋S△ABC 7.如图，四边形ABCD的四个顶点在平面直角坐标系内．A，B，C，D四个点的坐标分别为(4，4)，(－3，2)，(2，－1)，(5，2)．求四边形ABCD的面积． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－，0)，点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C.点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D.若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积． 参考答案 1．解：∵AB＝6－1＝5， ∴S△ABC＝AB·4＝×5×4＝10. 2．解：(1)∵点P(－1，n)在直线l2：y＝2x＋4上， ∴2×(－1)＋4＝n，∴n＝2. (2)∵直线l2：y＝2x＋4与x轴相交于点A， ∴点A的坐标为(－2，0)， ∴AB＝3， ∴S△PAB＝×3×2＝3. 3．解：方法1：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BC⊥x轴于点C.分别延长线段EA和线段CB，使它们相交于点D，则∠EDC＝90°.由A，B两点的坐标可知OC＝4，BC＝2，BD＝3，AD＝3，AE＝1，OE＝5. S△AOB＝S矩形EOCD－S△AEO－S△ABD－S△OBC＝4×5－×5×1－×3×3－×4×2＝20－－－4＝9. 方法2：如图，过点A作AP∥y轴交OB于点P，由题易知yOB＝x，当x＝1时，y＝，∴P(1，)， ∴AP＝5－＝， ∴S△OAB＝AP·|xB－xO|＝××4＝9. 4．解：(1)将点A(3，n)代入正比例函数y1＝x