18 3.6 反比例函数的综合应用-【智乐星中考·中考备战】2024年山东省中考数学精讲本

数学 2024 山东 精讲本 1 反比例函数的综合应用 第六节　反比例函数的综合应用 2 1．命题规律： 3 2．解题方法： (1)求反比例函数解析式的方法： ①待定系数法：求反比例函数图象经过一点的坐标，利用代入法； ②图形面积法：利用几何图形的数量关系来确定； (2)从反比例函数y＝ 的图象上一点，作两坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为|k|. (3)反比例函数y＝ 图象上的两个点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1y1＝x2y2＝k. 4 【一题多解】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABO的边 AB垂直 x轴于点B，反比例函数y＝ (x＞0) 的图象经过AO的中点C，与 边AB相交于点D.若点D的坐标为(4，m)，AD＝3. (1)求反比例函数y＝ 的解析式； (2)经过C，D两点的直线解析式是__________； (3)连接OD，CD，求△OCD的面积． 母题分析：反比例函数与三角形结合，以三角形为背景考查函数解析式及图形面积问题． 5 6 7 8 变条件，求解析式及面积 在核心母题的条件下，E是反比例函数y＝ (x＞0)图象上的一点，且横坐标为1，连接OE，CE，请求出直线CE的解析式及△OCE的面积． 9 10 11 变设问，由面积定值求点坐标 在核心母题的条件下，点Q是x轴上的一个动点，连接CQ，DQ.当S△CDQ＝2时，求出点Q的坐标． 12 13 变难度，与二次函数最值结合求面积最大值 在核心母题的条件下设点E是线段CD上的动点，过点E且平行于y轴的直线与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值． 14 15 解：(1)∵AD＝3，D(4，m)，∴A(4，m＋3)． ∵点C是OA的中点，∴C(2，eq \f(m＋3,2))． ∵点C，D在反比例函数y＝eq \f(k,x)(x>0)的图象上， ∴将C，D两点的坐标代入得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4m＝k，,2×\f(m＋3,2)＝k，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝4，,m＝1，)) ∴反比例函数的解析式为y＝eq \f(4,x). (2)y＝－eq \f(1,2)x＋3 (3)解法1：如图，过点C作CE⊥OB于点E. ∵C(2，2)，D(4，1)，∴S△OCD＝S梯形CEBD＝(2＋1)×2÷2＝3. 解法2：如图，延长CD交x轴于点F. ∵C(2，2)，D(4，1)，∴直线CD的解析式为y＝－eq \f(1,2)x＋3， ∴当y＝0时，x＝6，∴F(6，0)， ∴S△OCD＝S△OCF－S△DOF＝eq \f(1,2)×6×2－eq \f(1,2)×6×1＝6－3＝3. 解：∵点E的横坐标为1，代入y＝eq \f(4,x)得y＝4， ∴E(1，4)． 设直线CE的解析式为y＝kx＋b1. 将点C，E的坐标代入y＝kx＋b1得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b1＝4，,2k＋b1＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b1＝6，)) ∴直线CE的解析式为y＝－2x＋6. 如图，延长EC交x轴于点M. ∵直线CE的解析式为y＝－2x＋6， ∴当y＝0时，x＝3，∴M(3，0)， ∴S△OCE＝S△OEM－S△OCM＝ eq \f(1,2)×3×4－eq \f(1,2)×3×2＝3. 解：如图，延长CD交x轴于点N. 由母题知直线CD的解析式为y＝－eq \f(1,2)x＋3， ∴点N的坐标为(6，0)． 设点Q的坐标为(q，0)，∴QN＝|6－q|， ∴S△QCD＝S△QCN－S△QDN＝eq \f(1,2)×|6－q|×2－eq \f(1,2)×|6－q|×1＝2， 解得q1＝2，q2＝10，∴q(2，0)或(10，0)． 解：如图．∵直线CD的解析式为y＝－eq \f(1,2)x＋3， ∴设E(n，－eq \f(1,2)n＋3)． 由(2)知C(2，2)，D(4，1)，∴2≤n≤4. ∵EF∥y轴，交反比例函数y＝eq \f(4,x)于点F， ∴F(n，eq \f(4,n))，∴EF＝－eq \f(1,2)n＋3－eq \f(4,n)， ∴S△OEF＝eq \f(1,2)(－eq \f(1,2)n＋3－eq \f(4,n))·n＝eq \f(1,2)(－eq \f(1,2)n2＋3n－4)＝－eq \f(1,4)(n－3)2＋eq \f(1,4). ∵2≤n≤4，∴当n＝3时，S△OEF最大，最大值为eq \f(1,4). $$