17 方法专题二 二次函数的最值问题-【智乐星中考·中考备战】2024年山东省中考数学精讲本

方法专题二　二次函数的最值问题 类型1　已知函数解析式，在全体实数内求最值 类型依据 依据：二次函数的顶点纵坐标为最大值或最小值 衍生模型 方法一 方法二 方法三 转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k 利用坐标公式(－，) 先求出对称轴x＝－，再代入解析式求值 1.二次函数y＝2x2－8x－2的最小值是(　　) A．－2 B．－10 C．－6 D．6 2．若二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是(　　) A．b＝2，c＝4 B．b＝－2，c＝－4 C．b＝2，c＝－4 D．b＝－2，c＝4 类型2　对称轴确定，在自变量取值范围内的最值 类型依据 依据： 1．二次函数的顶点纵坐标为最大值或最小值； 2．二次函数的增减性 解题方法 求自变量取值范围内的最值问题，需结合函数图象进行判断 判断增减性 先判断函数在自变量取值范围内的增减性： 1．开口向下时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小； 2．开口向上时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 判断与对称轴的距离 1.开口向下时，离对称轴越远，y值越小； 2．开口向上时，离对称轴越远，y值越大 3.(2022·广西贺州)已知二次函数y＝2x2－4x－1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点(1，0)，(2，3)，在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为－5，则a的取值范围是(　　) A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0 类型3　对称轴不确定，在自变量取值范围内的最值 类型依据 依据： 1．二次函数的顶点纵坐标为最大值或最小值； 2．二次函数的增减性 解题方法 图形(以开口向上为例) 结论 当对称轴在m左侧时(－＜m)，y在x＝m时取最小值，在x＝n时取最大值 当对称轴在m，n之间时(m＜－＜n)，y在x＝－时取最小值(顶点纵坐标) 当对称轴在n右侧时(－＞n)，y在x＝n时取最小值，在x＝m时取最大值 5.已知二次函数y＝mx2－2mx＋2(m≠0)在－2≤x≤2时有最小值－2，则m＝(　　) A．－4或－ B．4或－ C．－4或 D．4或 6．(2023·浙江绍兴)已知二次函数y＝－x2＋bx＋c. (1)当b＝4，c＝3时， ①求该函数图象的顶点坐标； ②当－1≤x≤3时，求y的取值范围． (2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 参考答案 1．B　2.B　3.D　4.C　5.B 6．解：(1)①当b＝4，c＝3时，y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7， ∴顶点坐标为(2，7)． ②∵顶点坐标为(2，7)，抛物线开口向下， 当－1≤x≤2时，y随x的增大而增大， 当2≤x≤3时，y随x的增大而减小， ∴当x＝2时，y有最大值7. 又∵2－(－1)>3－2， ∴当x＝－1时，y取得最小值，最小值y＝－2， ∴当－1≤x≤3时，－2≤y≤7. (2)∵x≤0时，y的最大值为2；x>0时，y的最大值为3， ∴抛物线的对称轴直线x＝在y轴的右侧，∴b>0. ∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，∴c＝2. 又∵＝3，∴b＝±2. ∵b>0，∴b＝2，∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $$