14 3.5 二次函数的图象与性质-【智乐星中考·中考备战】2024年山东省中考数学精讲本

数学 2024 山东 精讲本 1 第五节　二次函数的图象与性质 二次函数的概念及解析式 1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数． 知识点1 2 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k)． (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴的交点的横坐标，a≠0. 3 二次函数的图象与性质 1．二次函数的图象与性质 知识点2 4 5 6 减小 增大 增大 减小 7 【方法指导】 求函数最值的常用方法 求函数的最值时，若自变量的取值范围为x1≤x≤x2： (1)若对称轴在该范围内，则最大值、最小值都存在，在顶点和一端点处取得； (2)若对称轴不在该范围内，则最大值、最小值也都存在，在x1，x2处取得． 8 2．二次函数图象的特征与a，b，c的关系 9 10 抛物线的平移 1．将抛物线解析式化成顶点式为y＝a(x－h)2＋k，顶点坐标为(h，k)． 2．保持y＝ax2的形状不变，将其顶点平移到(h，k)处，具体平移方法如下： 知识点3 11 12 【方法指导】 抛物线平移的规律和方法 二次函数图象平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 13 二次函数与方程、不等式的关系 1．与方程的关系 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标． (2)①b2－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有___个交点； ②b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有____个交点； ③b2－4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴 _____交点． 知识点4 两 一 没有 14 2．与不等式的关系 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集⇔抛物线位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围． (2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集⇔抛物线位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围． 15 二次函数的图象与性质 (2023·河南)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝x＋b的图象一定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 正确判断a，b的符号与图象的关系是解题的关键． 命题点1 16 (2023·甘肃兰州)已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是(　　) A．对称轴为直线x＝－2 B．顶点坐标为(2，3) C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 17 确定二次函数的解析式 已知二次函数y＝ax2＋bx－3(a≠0)的图象经过点(2，－3)， (－1，0)，求二次函数的解析式． 熟练掌握二次函数的一般式与待定系数法求解析式是解题关键． 命题点2 18 19 【命题探究设问】 1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的顶点坐标为(2，4)，且经过点(3，5)，求二次函数的解析式． 解：∵二次函数图象的顶点坐标为(2，4)， ∴设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋4(a≠0)． 将点(3，5)代入二次函数解析式得5＝a(3－2)2＋4， 解得a＝1， ∴二次函数的解析式为y＝(x－2)2＋4＝x2－4x＋8. 20 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与x轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，且经过点(3，6)，求二次函数的解析式． 解：∵二次函数图象与x轴交于点(1，0)，(2，0)， ∴设二次函数的解析式为y＝a(x－1)(x－2)(a≠0)． 将点(3，6)代入二次函数解析式得6＝a(3－1)(3－2)， 解得a＝3， ∴二次函数的解析式为y＝3(x－1)(x－2)＝3x2－9x＋6. 21 3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(－1，8)，对称轴是直线 x＝－2，且在x轴上截得的线段长为6，求二次函数的解析式． 解：∵二次函数的图象的对称轴为直线x＝－2，且在x轴上截得的线段长为6， ∴二次函数的图象与x轴的交点为(－5，0)，(1，0)， ∴设二次函数的解析式为y＝a(x＋5