12 3.4 反比例函数的图象与性质-【智乐星中考·中考备战】2024年山东省中考数学精讲本

数学 2024 山东 精讲本 1 第四节　反比例函数的图象与性质 反比例函数的概念及解析式 1．一般地，形如y＝ (k为常数，k≠0)的函数，叫作反比例函数．其中 反比例函数的自变量x的取值范围是________的一切实数． 2．反比例函数解析式的三种形式 (1)y＝ (k为常数，k≠0)． (2)y＝kx－1(k为常数，k≠0)． (3)xy＝k(k为常数，k≠0)． 知识点1 不等于0 2 反比例函数的图象与性质 1．反比例函数y＝ (k为常数，k≠0)的图象是_______，它有两个分 支且关于_____对称． 2．画反比例函数图象的一般步骤 (1)列表．(2)描点．(3)连线． 知识点2 双曲线 原点 3 【方法指导】 (1)列表时选取的数值应对称选取； (2)列表时选取的数值越多，画的图象越精确； (3)连线时，必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用平滑的曲线连接，切忌画成折线； (4)画图象时，它的两个分支应全部画出，切忌将图象与坐标轴相交． 4 3．图象与性质 k的符号 k>0 k<0 图象的 位置 所在象限 第 _______象限 第_________象限 性质 在同一象限内，y随 x的 增大而_____；在不同象限内，第一象限y值大于第三象限y值 在同一象限内，y随x的增 大而______；在不同象限内，第二象限y值大于第四象限y值 一、三 二、四 减小 增大 5 【易错警示】 判断反比例函数增减性的注意点 正确理解反比例函数的增减性，注意自变量的取值范围，不能笼统地说y随x的增大而增大(或减小)，应指明在某一象限内函数的增减变化情况． 6 反比例函数中k的几何意义 1.如图，过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足 分别为M，N，所得矩形PMON的面积S＝|xy|＝______． 知识点3 |k| 7 2．反比例函数图象中有关图形的面积 8 9 10 11 确定反比例函数的解析式 1．方法：待定系数法(常常还会利用k的几何意义求解析式，具体见 上述知识点) 2．步骤 (1)设所求反比例函数解析式为y＝ (k为常数，k≠0)； (2)找出满足反比例函数解析式的点P(a，b)； (3)将P(a，b)代入解析式得k＝ab； (4)确定反比例函数解析式y＝ . 知识点4 12 反比例函数的图象与性质 (2023·泰安8题4分)一次函数y＝ax＋b与反比例函数 y＝ (a， b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能是(　　) 命题点1 分别将a，b与0的大小关系代入四个选项中一一判断即可． 13 (2023·湖北武汉)关于反比例函数y＝ ，下列结论正确的是 (　　) A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D．图象经过点(a，a＋2)，则a＝1 14 确定反比例函数的解析式 (2023·湖南湘潭节选)如图，点A的坐标是(－3，0)，点B的坐标是 (0，4)，点C为OB中点．将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′. 反比例函数y＝ 的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式． 命题点2 15 根据旋转的性质得出点C′的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的表达式． 16 解：∵点A的坐标是(－3，0)，点B的坐标是(0，4)，点C为OB的中点， ∴OA＝3，OB＝4，∴BC＝2. 将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′， ∴C′(2，4)． ∵反比例函数y＝ 的图象经过点C′， ∴k＝2×4＝8， ∴该反比例函数的表达式为y＝ . 17 18 19 反比例函数k的几何意义 如图，点A在反比例函数y＝ 的图象上，过点A作x轴的垂线， 垂足为B，点C在y轴上，若△ABC的面积为2，则k的值为(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 找到△ABC的面积与k之间的关系． 命题点3 20 如图，连接OA. ∵AB⊥x轴，∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝2. ∵S△OAB＝ |k|， ∴ |k|＝2，∴|k|＝4. ∵k＜0，∴k＝－4.故选C. 21 如图，一次函数y＝x＋k(k＞0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和 点B，与反比例函数 y＝ 的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴， CE⊥y轴，垂足分别为D，E.当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值 为________． 2