06 2.2 一元二次方程及其应用-【智乐星中考·中考备战】2024年山东省中考数学精讲本

数学 2024 山东 精讲本 1 第二节　一元二次方程及其应用 一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程：等号两边都是整式，只含有_____个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程． 2．一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)．其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． 3．一元二次方程的解(根)：使方程左右两边_______的未知数的值． 知识点1 一 相等 2 一元二次方程的解法 知识点2 直接开 平方法 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，两边开平方转化为两个一元一次方程求解 配方法 把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，再直接开平方 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0， 利用求根公式x＝______________求解 因式分 解法 一元二次方程的一边为0，另一边易分解成两个一次因式的乘积，即可化为a(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式 3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1． _______叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac.判别式的符号决定了方程根的情况，即 (1)Δ>0⇔方程有两个 _______的实数根． (2)Δ＝0⇔方程有两个_______的实数根． (3)Δ<0⇔方程_______实数根． 知识点3 b2－4ac 不相等 相等 没有 4 【方法指导】 求字母取值范围时的注意事项 对于二次项系数含有字母的方程，根据根的情况求字母的取值范围时，若指明是一元二次方程，则牢记二次项系数不为0这一条件；若未指明方程类型，则需分二次项系数为0和不为0两种情况讨论． 5 2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1＋x2 ＝________，x1x2＝________． 6 【易错警示】 应用根与系数关系的注意点 (1)当一元二次方程不是一般形式时，要先化成一般形式； (2)应用x1＋x2＝－ 时，不要漏“－”； (3)应用根与系数关系公式的前提：①二次项系数a≠0；②判别式b2－4ac≥0. 7 一元二次方程的应用 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤 (1)审，即审清题意，找出题中的已知量、未知量． (2)设，即设出关键未知数． (3)列，即找出等量关系，列方程． (4)解，即解方程． (5)验，即检验结果是否正确或是否有实际意义． (6)答，即回归题中，规范作答． 知识点4 8 2．应用题中常见的等量关系 (1)增长率等量关系：增长率＝ ×100%. 一般类型：设原来量为a，平均增长(下降)率为x，则一次增长(下降) 后的值为a(1±x)，两次增长(下降)后的值为a(1±x)2. (2)利润等量关系：利润＝售价－成本(进价)， 利润率＝ ×100%. (3)利息等量关系：利息＝本金×利率×期数， 本息和＝本金＋利息． (4)行程等量关系：路程＝速度×时间． 9 【方法指导】 一元二次方程实际应用题的注意事项 用一元二次方程解决实际问题，一般会求出来两个不相等的实数根．但往往需要结合题设中的实际意义舍掉不符合题意的解．如增长率不能小于0；下降率不能大于1；边长不能为负等；同时有的要根据题设中的限定条件排除不符合的根，如“尽可能减少库存”的意思是“销量要尽可能大”． 10 一元二次方程的解法 已知关于x的一元二次方程(m－2)x2－4x＋3＝0，请回答下列问题： (1)m 的取值范围是________； (2)若m的值为3，请用三种方法求出此方程的解． (1)明确一元二次方程的概念； (2)会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程． 命题点1 11 12 (2022·临沂)方程x2－2x－24＝0的根是(　　) A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝－4 C．x1＝－6，x2＝4 D．x1＝－6，x2＝－4 13 由一元二次方程的根求字母的值或范围 (2021·聊城)关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是－2，则k值 为(　　) A．2或4 B．0或4 C．－2或0 D．－2或2 将未知数的值代入，并会解一元二次方程． (2023·湖南怀化)已知关于x的一元二次方程x2＋mx－2＝0的一个 根为－1，则m的值为________，另一个根为________