2.1.1 倾斜角与斜率 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.1.1 倾斜角与斜率 南宁市武鸣区武鸣高级中学 宋燕伶 2023年10月9日 1 文化背景：解析几何 17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立了解析几何.其基本内涵和方法： 点 数 坐标法 曲线 方程 把几何问题转化为代数问题, 用代数方法研究几何图形的性质. 传说1619年的一天，笛卡尔看到墙上有一只蜘蛛。 他突然想到，要是把墙角看作三条数轴，蜘蛛的位置不就确定了吗？ 于是，直角坐标系就此诞生了。 问题情境 南宁白沙大桥 南宁青山大桥 思考：这些大桥的斜拉索的陡缓程度不一，我们如何建立恰当的数学模型来解释斜索的陡缓程度呢？ 问题提出 问题1 过一点P的直线l，能确定其位置吗？ 追问1 这些直线的区别是什么？ 方向不同 （倾斜程度） 追问2 怎么描述这种倾斜程度呢？ x O α y 角 概念生成 1.直线的倾斜角的概念 当直线 与 轴相交时，我们以 轴为基准， x y O α 轴正向与直线 向上的方向之间所成的角 ， 叫做直线 的倾斜角(angle of inclination). 思考： 当直线l与x轴平行或重合时，其倾斜角大小为多少? l l 规定：当直线 与 轴平行或重合时，它的倾斜角为 . 概念深化 问题2 直线的倾斜角的取值范围是什么? 追问1 在平面直角坐标系中，每一条直线都有唯一确定的倾斜角吗？ 直线 倾斜角 0o ≤α<180o 方向相同的直线 倾斜程度相同 倾斜角相同 合作探究 探究1: 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为 . (1)已知直线 经过 ， 与 的坐标有什么关系？ 倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，那么用代数中的“数”能否表示直线的倾斜程度呢？ x l α 由正切函数的定义，有 探究1: 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为 . x y (2)类似地，如果直线 经过 ， 与 的坐标又有什么关系？ 合作探究 α 探究1: 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为 . (3)一般地，如果直线 经过两点 ，那么 与 的坐标有怎样的关系？ 合作探究 一般地，直线 的倾斜角 与直线 上的两点 的坐标具有如下关系： 斜率 我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率(slope). 斜率常用小写字母 表示，即 思考：所有的直线都有斜率吗？ 注：当 时，直线的斜率不存在； 当 时，直线的斜率 . 合作探究 思考： 当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ Administrator (A) - 新知探究 问题4 当直线的倾斜角由0o逐渐增大到180o时，其斜率如何变化？ 合作探究 探究2：倾斜角 的大小与斜率 的正负关系 倾斜角 斜率 请完成下表，观察并猜测倾斜角 的大小与斜率 的正负关系. 结论：当倾斜角 为锐角时，斜率 ； 当倾斜角 为钝角时，斜率 . 当倾斜角 为90°时，斜率不存在. 新知探究 问题5 直线的方向向量与斜率k有什么关系？ =(x2－x1，y2－y1). 当x1x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为=(1，k). 结论：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则 k=. 典例分析 解：直线 的斜率 ； 直线 的斜率 ； 直线 的斜率 . 由 及 可知，直线 与 的倾斜角均为锐角； 由 可知，直线 的倾斜角为钝角. 【例1】 如图，已知 ， ， ，求直线 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 课堂小结 两个概念 两个角度 三大要素 解析几何（坐标法） 直线倾斜程度 倾斜角 斜率 α k = tan α 四种思想 “形” “数” ①几何问题代数化 ②数形结合 ③特殊到一般④分类讨论 课后作业 课本练习P55 1，2，3 $$