第五章导数-证明不等式限时提升训练-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

选择性必修第二册 第五章导数 ---证明不等式限时提升训练 一、单选题 1．当时，有不等式 A． B．当时，当时 C． D．当时，当时 2．下列不等式中，对任意的不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．关于函数，下列判断正确的是（    ） ①是的极大值点； ②函数有且只有1个零点； ③存在正实数k，使得成立； ④对任意两个正实数，且，若，则． A．①④ B．②④ C．②③ D．③④ 二、多选题 7．下列选项正确的是（      ） A．， B．， C．， D．， 8．已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．用不等号“<”将，，按从小到大排序为 . 10．已知，比较与的大小，结果为 ． 四、解答题 11．已知函数. (Ⅰ)求函数的单调区间； (Ⅱ)求证：当时，. 12．已知函数． (1)求的最小值； (2)设，证明： 13．已知函数． (1)求函数的极值； (2)求证：． 14．设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求； (2)证明：. 15．已知函数. (1)求函数的极大值； (2)求证：. 16．已知函数． (1)求曲线在处切线的斜率； (2)当时，证明：； (3)证明：． 17．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设是的两个极值点，求证：． 18．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程： (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：（，）. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修第二册 第五章导数 ---证明不等式限时提升训练 一、单选题 1．当时，有不等式 A． B．当时，当时 C． D．当时，当时 【答案】C 【详解】试题分析：设，令得，当时，当时，所以函数，当时 考点：函数与不等式 点评：将不等式问题转化为函数最值问题，通过求函数的最值来确定不等式的恒成立 2．下列不等式中，对任意的不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD选项，作差后构造函数，求导，利用函数的性质判断；B选项用特值法判断. 【详解】令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故，则．故A不合题意； 当时，，故B符合题意； 令，则， 则在上单调递增，故，则．故C不合题意； 令，则， 则在上单调递增，故，则．故D不合题意. 故选：B. 3．已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可构造函数，然后求出函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得构造函数，则对任意的恒成立， 所以在上是减函数， 对A：因为，所以，即，得，故A错误； 对B、C、D：因为，所以，即，故C错误； 因为，所以，所以，即，故D错误，故B正确. 故选：B. 4．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数可得，据此判断，再由判断即可得解. 【详解】令，则，可知时，时， 故在上单调递减，在上单调递增，可知， 所以，时等号成立，所以，故； 又，当时等号成立，则，故. 综上，. 故选：C 5．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两个重要的不等式，说明大小即可 【详解】先用导数证明这两个重要的不等式 ①，当且仅当时取“=” ，函数递减， 函数递增 故时函数取得最小值为0 故，当且仅当时取“=” ②，当且仅当时取“=” ，函数递增，函数递减， 故时函数取得最大值为0， 故，当且仅当时取“=” 故 故选：C 6．关于函数，下列判断正确的是（    ） ①是的极大值点； ②函数有且只有1个零点； ③存在正实数k，使得成立； ④对任意两个正实数，且，若，则． A．①④ B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】对于①：求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得极值点；对于②：构建，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断；对于③：整理得，构建，利用导数分析其单调性，进而可得结果；对于④：分析可得原题意等价于即证，令，利用导数判断其单调性，进而分析判断. 【详解】对于①：由题意可得：函数的定义域为，且， 当时，0；当时，； 则在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，故①错误； 对于②：令， 则函数的定义域为，且恒成立， 可知在上单调递减，且， 函数有且只有1个零点，故②正确； 对于③：若，整理得， 令，则， 令，则， 令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减， 可得，即， 所以