3.3 垂径定理 同步分层作业-2023-2024学年数学九年级下册（北师大版）

3.3 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 ：基础过关练 一、单选题 1．如图，是的直径，弦于，，，则弦的长为（　　） A． B． C． D． 2．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 3．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 4．如图，将放在每个小正方形的边长为2的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A．2 B． C．3 D． 5．下列命题中错误的有（    ）． （1）弦的垂直平分线经过圆心      （2）平分弦的直径垂直于弦 （3）梯形的对角线互相平分      （4）圆的对称轴是直径 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（    ） A．1米 B．3米 C．2米 D．1.5米 二、填空题 7．如图1是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图所示，的直径为，毛刷的一端为固定点，另一端为点，，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点，，且，，三点在同一直线上．毛刷在旋转过程中，与交于点，则的最大长度为 ． 8．已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 9．如图，已知的两条弦、分别与的同心圆交于点E、F、X、Y，，，，则的长度为 ．    10．如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心13为半径画圆，直线与交于两点，则弦长的最小值为 ． 11．如图，是的直径，为圆上一点，且，的半径为，为圆上一动点，为的中点，则长度的最大值是 ．    12．如图，圆形输水管的横截面阴影部分为有水部分，水面宽为，水的最大深度为，则该水管的半径为 ． ：培优提升练 三、解答题 13．如图，在中，，为互相垂直且相等的两条弦，，，垂足分别为，，求证：四边形是正方形． 14．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 15．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 16．如图，的直径，有一条定长为的动弦在上滑动（点C与A，点D与B不重合），交于F，交于E． (1)求证：； (2)在动弦滑动的过程中，四边形的面积是否为定值？若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由． 17．如图，是的直径，是弦，点E是的中点，交于点D．连接，若，，求的长． 18．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 1．A 【分析】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 连接，由直径垂直于弦，利用垂径定理得到为的中点，由的长求出的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，即为的长，由求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，如图所示： 直径，， 为的中点，即， 在中，，， 根据勾股定理得：， 则， ， 在中，，， 根据勾股定理得：． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离；