江苏省南京市中山中学2022年普通高中数理人才贯通培养实验项目能力检测数学部分

2022年普通高中数理人才贯通培养实验项目能力检测数学部分 一、填空题 1、a=V10-46.b=V10+4W6,求a+b= 2、=x2+m+2m-4,当-2≤1时，0，求m的取值范围 3、如图，在Rt△MBC中，AC-15,BC=20,AM2CM,CD⊥AB,I为△BCD内心， 求 D 4、已知∠ABC+∠BDC-180P,AB=4,BC-6,BD=5,能=言求CD为 5、已知+1+之x2+-2+m有实数解，求m的最大值为一 6、在四边形ABCD中，AC=CD,∠ACD=60°，AB=I,BC=3,求BD的最大值为一 7、已知a、b为方程x2.2x+1-3=0的两根，求(2a+5-1川6+2)的最小值。 8、若一个直角三角形中两条直角边都是整数，且周长是面积的整数倍，则称其为“α三角形”， 则这样的“α三角形”共有个， 二、解答题 1、已知对于任意实数a、6,都有之b,特别地，当a、b都为正数时，有学≥V。 )已知)2()，求y最小值为一 (2)已知4x+3y6,求x2+30最大值为。 (3)x、y都是正数，4x+=5,求xy最小值。 2、求证：数列2,22,222，，，中一定有2022的倍数. 3、已知a,b为方程x2+x-1-0的解，S1=a+b,S=a2+b2,5S=a+b3,,Sn=d+b, (1)求证：S=S2-Sl。 四求(5)5+(5)5的值. 2 4、己知：底与腰之比为5的等腰三角形为黄金三角形。 2 (1)如图1，△4BC即为黄金三角形尺规作图。已知AB2, 求AD长为，∠ABC为· (2)如图2，即为正五边形尺规作图。求证：五边形ABCDE(所作图形)即为正五边形。 3)请用另一种方法尺规作图作出正五边形。简要叙述作图方法，无需作图。 2022年普通高中数理人才贯通培养实验项目能力检测数学部分解析 一、填空题 1、a=10-4W6,b=10+4W6,求a+b= 【解析】 法一： 10-46=6-2=6-2 0+46=6+2=6+2 a+b=2√6 法二： a+b=@+b=10-4W6+10+46+202-46=4=26 2、y=x2+mx+2m4,当-2S≤1时，0，求m的取值范围 【解析】开口向上的二次函数，最大值只在两个端点处取掉，所以只需保证两个端点处的函 数值≤0即可满足题意，从而求出m≤3. 3、如图，在Rt△ABC中，AC=15,BC=20,AM2CM,CD⊥AB,I为△BCD内心， 求F」 【解析】过点1作AC、BC的垂线，垂足为E和F,根据内心相关知识计算： E.BD+CDBC.16+12-20.4 2 2 cE.CD+BC-BD.12+20-16.8 2 2 则M=√F+MF=√8+下=6 D 4、已知∠ABC+∠BDC180,AB-4,BC-6,BD-5,是=字求CD为— 【解析】过点A作AF∥BE交CB的延长线于点F BF AE4 BC CE5' BF。24 :∠ABF■∠BDC,∠F=∠CBD, △ABF∽aCDB CDBD AB BF c0=25 6 5、已知+1+x之x2+2什m有实数解，求m的最大值为一· 【解析】 m=-x2+x+k+1-女-2到 综上所述，m的最大值是 6、在四边形ABCD中，AC=CD,∠ACD=60°，AB=I,BC=3,求BD的最大值为 D 【解析】本题具有更一假性的结论：△ACD是等边三角形，求证BDSAB+BC, 此结论证明方法很多，课内可以采用构造手拉手全等解决以BD为边 构造等边三角形，则△ABD≌△CED,AB=CE, ..BD-BE<BC+CE=BC+AB, 所以此题答案为4. 7、已知a、b为方程x2.2x+1-3=0的两根，求(2a+5-1)(6+2的最小值 【解析】 △=22.4t-3)20.1s4 b2.2b+1-3=0 b3+2=2b+5-1 a+b=2,ab=1-3 ∴(2a+5-1)b2+2) =(2a+5-1）(2b+5-1） =4ab+2(5-t)(a+b)+(5-1月 =(-5+8 2(4-5+8=9 当1=4时取到 营一个直角三角形中两条直角边都是整数，且周长是面积的整数倍，则称其为“α三角形”。 样的“a三角形”共有 个 析】法一： 设两直角边分别为a、b,且a<b 设周长是面积的k倍，k为正整数 则a+b+后+6=kab 2 移项、平方去根号、化简得： k2ab-4k(a+b)+8=0 (ka-4)(b-4)=8 你他4 (因和.4>4，b.4>4,所以不考虑分解为两负数相乘) k=1k=2k=1 ∴{a=6或{a=3或{a=5 b=8b=4b=12 法二： a=2mnt b=(m2-n2)h 勾股数一般形式： c=(m2+n2) (m,n)=1,且m>n21 (PS:关于勾股数一般形式的证明此处擦过，感兴趣的