6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示5种常考题型归类-2023-2024学年高一数学高频考点通关与解题策略(人教A版2019必修第二册)

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示5种常考题型归类 2023-2024学年高一数学高频考点通关与解题策略 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1平面向量正交分解的理解 题型2平面向量的坐标表示概念辨析 题型3求向量的坐标 题型4求点的坐标 题型5利用坐标求向量的模 1、向量的分解 一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解． 2、向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底． 3、向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． 注：关于平面向量的坐标表示 (1)相等的向量坐标相同； (2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． 在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标． (3)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 4、向量与坐标的关系 设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 注：点的坐标与向量的坐标 (1)区别： (ⅰ)表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)； (ⅱ)意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向． (2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同． 题型1平面向量正交分解的理解 1．（2023·高一课时练习）下列可作为正交分解的基底的是 A．等边三角形中的和 B．锐角三角形中的和 C．以角A为直角的直角三角形中的和 D．钝角三角形中的和 2．（2023下·高一课时练习）已，分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，为坐标原点，设，则点位于第 象限. 3．（2023·高一课时练习）已知，且的坐标所表示的点在第四象限，则x的取值范围是 ． 4．（2023·高二课时练习）向量的坐标表示为 ；坐标为的向量，用正交分解表示为 . 5．（2023下·高一课时练习）平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ． 6．（2023·高一课时练习）设，是x，y轴正方向上的单位向量，，，则向量，的夹角为 ． 7．（2010下·浙江温州·高一统考期中）如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设=m+n，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足（    ） A．m>0，n>0 B．m>0，n<0 C．m<0，n>0 D．m<0，n<0 8．（2023下·四川德阳·高一四川省罗江中学校校考阶段练习）已知、满足，点C在内，且，设.若，则(    ) A． B．4 C． D． 9．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）如图，当时，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，任意一点M的斜坐标这样定义：若，其中，分别为与x轴、y轴正方向相同的单位向量，则M的斜坐标为．在仿射坐标系中，若，M的斜坐标为，则O到M的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 题型2平面向量的坐标表示概念辨析 10．（2023·全国·高一课堂例题）下列说法正确的有(　　) ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个　　B．2个 C．3个 D．4个 11．（2023·全国·高一课堂例题）如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是________．(填序号) ①向量a可以表示为a＝mi＋nj； ②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)； ③若a＝，则终点A的坐标就是向量a的坐标． 12.（2023·全国·高一课堂例题）已知向量=(1,0)，=(0,1)，对于该坐标