2.3 确定二次函数的表达式 同步分层作业-2023-2024学年数学九年级下册（北师大版）

2.3 确定二次函数的表达式 确定二次函数的表达式：（待定系数法） （1）一般式： （2）顶点式： （2）交点式：y=a(x-x1)(x-x2) ：基础过关练 一、单选题 1．已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．已知抛物线的开口向上，且抛物线经过原点，则的值为（    ） A． B． C． D．或 3．已知抛物线：，若点，，均在该抛物线上，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A．该函数的最大值为4 B．对称轴为直线 C．方程有两个相等的实数根 D．当时，的值随x的值的增大而减小 5．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②；③和3是关于的方程的两个根；④．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．在“探索二次函数（）的系数a，b，c与图像的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，，如图所示．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图像，并得到对应的函数表达式．    （1）嘉嘉画出过点A，D，C时的二次函数图像，对应的二次项系数记为，淇淇画出过点B，D，C时的二次函数图像，对应的二次项系数记为，则与的大小关系是 ； （2）的最大值为 ． 7．若二次函数的图象经过点，则c的值是 ． 8．如图，坐标平面上有一顶点为的抛物线，与x轴平行的直线交抛物线于B、C两点，的长为，且为正三角形，则可设此抛物线的顶点式为 ，抛物线与y轴的交点坐标是 9．小明和小强两位同学各给出某函数的一个特征，小明：“当时，函数值y随自变量x增大而减小，当时，函数值y随自变量x增大而增大”；小强：“函数图像经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是 ． 10．二次函数的图像经过点，则 ． ：培优提升练 11．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号） ①；②；③． (2)已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； (3)若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 12．如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，若一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． (1)分别求出一次函数与二次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足的的取值范围． 13．如图，抛物线与轴负半轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若是直线上方抛物线上一点，过点作交直线于点．设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的坐标； ②请用含的代数式表示出线段的长，并求出线段的最大值． 14．在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，点在直线上． (1)当二次函数的图象经过直线与坐标轴的交点时， ①求该抛物线的解析式和顶点坐标； ②取何值时， (2)当时，，且二次函数的图象的顶点在直线上，求抛物线的解析式． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）．求二次函数的解析式并写出它的顶点坐标．    1．C 【分析】本题考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，根据定义得出，然后将点代入解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：C． 2．A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，解题的关键是将代入，求出，然后根据抛物线开口向上，得出． 【详解】解：把代入得： ， 解得：， ∵抛物线的开口向上， ∴， 故选：A． 3．D 【分析】把代入，求得函数表达式为，再根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∵对称轴， ∴关于对称轴的对称点为， ∴当时，；当或时，， ∵， ∴， 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象的性质．先利用待定系数法求得函数的解析式，再利用二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴对称