1.1 锐角三角函数 同步分层作业-2023-2024学年数学九年级下册（北师大版）

1.1 锐角三角函数 知识点1 正切 定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA， 即; ①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比； ③tanA不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切； ⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 知识点2 正弦 定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即; 知识点3 余弦 定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即; 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。 ：基础过关练 一、单选题 1．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕．若矩形纸片的宽，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形纸片ABCD中，E是BC边上的中点，连接AE，把矩形纸片沿AE对折，点B恰好落在矩形纸片ABCD的对角线BD上的点F处，连接CF． ①；②；③；④；⑤． 以上五个结论，正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，已知，点是的平分线上的一点，点，分别是射线和射线上的点，且，．下列结论中正确的是（    ）    A．是一个定值 B．四边形的面积是一个定值 C．当时，的周长最小 D．当时，也平行 4．如图，点在轴正半轴上，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 5．如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 6．在中，，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．在中，已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．在中，各边都扩大3倍，则的正切值（    ） A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 9．如图，点C是线段的中点，，若则的长是（    ） A． B． C． D． 10．如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 11．已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．已知锐角满足，则 ． 13．如图，小益同学构造一个，，D是的中点，与交于点E，连接，如果，，设，则 ． 14．七巧板是一种古老的中国传统智力游戏．在如图所示的七巧板中，若正方形的边长为4，则正方形的边长为 ． 15．如图，正方形的两边、分别在x轴、y轴上，点在边上，则的余弦值是 ． 16．已知是锐角，化简： ． 17．如图，在中，，于点D，，，那么 ． 18．如图，在中，，，，，已知，小明同学想求的值，他在上取点D，使得，则 . 19．如图，点A是双曲线第三象限分支上的一动点，连接并延长交另一支于点，以为边作等边，点在第二象限内，则过点的反比例函数解析式为 ．    20．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为 ． 21．比较大小： （填“”、“”或“”）． 22．如图，在矩形ABCD 中，O是对角线AC的中点，E为AD上一点，若，则AB的最大值为 ． ：培优提升练 三、解答题 23．如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 24．如图是正方形网格，已知格点A，B，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，以为对角线，作一个正方形； (2)在图2中，取格点，作，使． 25．小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图所示）．若的长度为a，求菱形的面积． 26．如图，四边形是的内接四边形，连接，，延长至点. (1)若，求证：平分； (2)若，的半径为，求． 27．如图，在中，．请用尺规作图法在线段上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 28．如图，在等边三角形中，E，F分别是上的点，且，交于点G． (1) °； (2)过点A作（点D在的右侧），且，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 29．如图，四边形中，，对角线，，，点为折线上的点． (1)求的长； (2)若点在的平分线上，求的长； (3)若，求的值． 30．如图①，与都是等腰直