专题6.1 平方根（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题6.1 平方根（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别提醒：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 【知识点二】平方根的定义 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0）的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 【知识点三】平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和； 2．联系： （1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别提醒： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 【知识点四】平方根的性质 【知识点五】平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【考点目录】 【考点1】平方根与算术平方根的理解； 【考点2】算术平方根的非负性与取值范围； 【考点3】算术平方根的整数部分与小数部分； 【考点4】算术平方根的规律问题； 【考点5】求一个数的平方根与算术平方根； 【考点6】已知平方根或算术平方根，求原数； 【考点7】平方根与算术平方根的应用； 【考点8】利用平方根解方程. 【考点1】平方根与算术平方根的理解； 【例1】（2022下·山西吕梁·七年级统考期中） （1）已知是的平方根，3是的算术平方根，求a+2b的平方根； （2）已知正数的平方根是和，若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据是的平方根，可得a＝2，再由3是3a+2b-3的算术平方根，可得b=3，再代入即可求解； （2）根据正数的平方根是和，可得，再代入方程，即可求解． 解：（1）∵是的平方根， ∴， 解得a＝2， ∵3是3a+2b-3的算术平方根， ∴3a+2b-3＝9， 解得b=3， 当a=2，b=3时 ∴a+2b=8 ∴a+2b的平方根为 （2）∵正数的平方根是和 ∴ ∴方程可化为 解得： ∵为正数 ∴ 【点拨】本题主要考查了平方根和算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的性质是解题的关键． 【变式1】（2023上·吉林长春·八年级统考期末）的算术平方根（　　） A．是3 B．是 C．是 D．不存在 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 本题主要考查了算术平方根，解题的关键是熟练掌握负数没有平方根，算术平方根的定义． 解：∵没有平方根，算术平方根是正数正的平方根， ∴没有算术平方根，即不存在． 故选：D． 【变式2】（2024上·湖南邵阳·八年级统考期末）已知：一个正数的两个平方根分别是5和，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 由题意知可知，然后求解即可． 解：∵一个正数的两个平方根分别是5和， ∴，解得：． 故答案为． 【考点2】算术平方根的非负性与取值范围； 【例2】（2023上·湖南衡阳·九年级校联考阶段练习）（1）若，则x的取值范围为 　 　； （2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简．    【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据的算术平方根为正值可知，进而可解答； （2）根据实数a，b，c在数轴上的对应点位置可知，进而可化简； 解：（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：根据实数a，b，c在数轴上的对应点位置可知， ∴原式． 【点拨】本题主要考查算术平方根的性质，绝对值，二次根式的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【变式1】（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．4 B．8 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质．根据二次根式以及平方具有非负性可知：，，又因为，所以可以求出，，代入到中即可解答． 解：∵，， 又∵， ∴，， 则，， ∴． 故选：A． 【变式2】（2024·全国·八年级竞赛）若a，b为实数，且，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平方根和绝对值的非负性，裂项法求式子的值．先由非负性求得a，b的值，再代入式子中，采用裂项法即可求解． 解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴，或，， ①当，时， ； ②当，时， ； ∴的值是或． 故答案为：