专题6.4 立方根（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题6.4 立方根（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 特别提醒：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 【知识点二】立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 特别提醒：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【知识点三】立方根的性质 ； ； . 特别提醒：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【知识点四】立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【考点目录】 【考点1】立方根概念的理解； 【考点2】求一个数的立方根； 【考点3】已知立方根，求原数； 【考点4】算术平方根与立方根综合； 【考点5】立方根的实际应用； 【考点1】立方根概念的理解； 【例1】（2023下·七年级课时练习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）直接利用立方根的定义求解即可； （2）方程先变形为，然后利用立方根的定义求解即可； （3）方程先变形为，然后利用立方根的定义求解即可． （1）解：， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴； （3）解：， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了立方根以及解方程，正确掌握立方根的定义是解题的关键． 【变式1】（2024下·全国·七年级假期作业）已知，，则的值为（    ） A．0.528 B．0.0528 C．00528 D．0.000528 【答案】C 【解析】略 【变式2】（2018上·辽宁沈阳·八年级统考期末）若有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】全体实数 【分析】根据使立方根有意义的条件解答即可． 解：立方根的被开方数可以取一切实数，所以可以取一切实数． 故答案为：一切实数． 【点拨】本题考查使立方根有意义的条件，理解掌握该知识点是解题关键． 【考点2】求一个数的立方根； 【例2】（2024上·浙江杭州·七年级统考期末）已知和是a的两个不同的平方根，是a的立方根. （1）求x，y，a的值. （2）求的立方根. 【答案】(1),,； (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的综合问题，掌握相关结论即可求解． （1）由题意得，即可求解； （2）由（1）求出即可求解． （1）解：∵和是a的两个不同的平方根， ∴， 解得：， ∴ ∴， ∵是a的立方根， ∴， ∴； （2）解：， ∴的立方根为． 【变式1】（2024上·湖南湘潭·八年级统考期末）下列命题是假命题的是（    ） A． B． C．9的平方根是3 D．若，则 【答案】C 【分析】根据算术平方根、立方根、平方根的意义进行判断即可，此题考查了算术平方根、立方根、平方根的意义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 解：A．，是真命题，不符合题意； B．，是真命题，不符合题意； C．9的平方根是，是假命题，符合题意； D．若，则，是真命题，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（2024上·江西吉安·八年级统考期末）若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，解答关键是熟练掌握相关定义． 先根据算术平方根定义，求出x，再求x的立方根即可． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4 【考点3】已知立方根，求原数； 【例3】（2022上·陕西渭南·八年级统考期末）已知的一个平方根是3，的立方根为． （1）求与的值； （2）求的立方根． 【答案】(1)，， (2)的立方根是2 【分析】本题主要考查了平方根，立方根的定义，熟练掌握平方根，立方根的计算方法是解题的关键．根据题意求出的值即可得到答案． （1）解：的一个平方根是3， ， 解得； 的立方根为， ， 解得； （2）解：，， ， 的立方根是2． 【变式1】（2023下·湖北黄冈·七年级校考期末）若一个数的立方根是，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个数的立方等于，即，则这个数即为的立方根，据此即可求得答案． 解：一个数的立方根是， 这个数为， 故选：． 【点拨】本题考查立方根的定义，此为基础目重要知识点，熟练掌握立方根的定义是解答本题的关键． 【变式2】（2024上·福建三明·八年级统考期末