专题6.7 实数（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题6.7 实数（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 特别提醒： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【知识点二】实数 有理数和无理数统称为实数. （1）实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 （2）实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【知识点三】实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 【知识点四】实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【考点目录】 【考点1】无理数的认识； 【考点2】实数的理解及分类； 【考点3】实数的性质与数轴； 【考点4】实数大小比较； 【考点5】无理数的估值整数部分与小数部分；【考点6】实数的混合运算； 【考点7】实数运算的应用； 【考点8】与实数有关的规律题； 【考点1】无理数的认识； 【例1】（2023上·河南周口·八年级统考阶段练习）已知实数是8的立方根，是1的平方根． （1）求，的值； （2）判断是有理数还是无理数，并说明理由． 【答案】(1)，；（2）当，时，是有理数；当，时，是无理数，见解析 【分析】本题考查了求一个数的立方根，平方根， （1）根据立方根、平方根的概念即可作答；（2）代入，，即可作答． 解：（1）∵实数是8的立方根，是1的平方根， ∴，， 即，； （2）∵， ∴， 当时，，结果为有理数； 当时，，结果为无理数； 则：当，时，结果是有理数；当，时，结果是无理数， 【变式1】（2024上·山东泰安·七年级统考期末）下列各数中不是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，即无限不循环小数，根据定义一一判断即可． 解：A． 为无限不循环小数，即为无理数，故本选项不符合题意； B． 为无限不循环小数，即为无理数，故本选项不符合题意； C． 为有理数，故本选项符合题意； D． 为无限不循环小数，即为无理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2023上·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在实数，0，，，中，无理数有 个． 【答案】3 【分析】根据无理数的定义逐一进行判断即可． 本题主要考查了无理数的判断．熟练掌握无理数和有理数的概念，化简平方根和立方根，是解决问题的关键． 解：0是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，，共3个，都是无限不循环小数，是无理数． 故答案为：3． 【考点2】实数的理解及分类； 【例2】（2022上·山东青岛·八年级校考阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里： ，0，，，，，， 有理数集合：｛______ }； 无理数集合：｛______}； 负实数集合：｛______}． 【分析】根据有理数、无理数、负实数的定义解答． 解： 在，0，，，，，，中，，，， 有理数集合∶； 无理数集合∶ ； 负实数集合∶ ． 【点拨】本题考查了实数的定义，掌握实数的范围以及分类方法是解题的关键． 【变式1】（2023上·山东菏泽·八年级统考阶段练习）若 x，y 为实数，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求得的值，然后代入代数式即可求解． 解：， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值，求得的值是解题的关键． 【变式2】（2023下·福建龙岩·七年级统考期中）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ． 【答案】256 【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可． 解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2， 第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为， 第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值