第一讲集合的概念与运算讲义-2023-2024学年高中数学竞赛与自主招生

竞赛与自主招生 第一讲 集合的概念与运算 一、基础知识 1．集合的概念 2．集合的分类 3．集合的表示法 4．集合与元素的符号表示 5．子集、真子集及两个集合之间的关系 如果对于任意的，都有，则称集合为集合的子集，当是．．的子集且时，则称集合是集合的真子集，事实上，有 （1）或； （2）且； （3）且． 6．集合的运算 （1）交集：且； （2）并集：或； （3）补集：，其中集合表示全集． 7．交集、并集与补集的主要运算律 （1）交换律：，； （2）结合律：，； （3）分配律：，； （4）同一律：，，，； （5）等幂律：，； 吸收律：，； （7）求补律：，； （8）反演律（摩根律）：，； （9）对合律：． 8．有限集合所含元素个数的几个简单性质 （1）一个 阶集合（即由个元素组成的集合）有个不同的子集，其中有个非空子集，也有个真子集． （2）设表示集合所含元素的个数，则 ①，当时，； ②． 二、例题精析 例1 设，，，求证：． 例2．设，求证：，． 例3．已知二次函数，若方程无实根，求证：方程也无实根． 例4．对于函数， 若，则称为的“不动点”，若，则称 为的“稳定点"．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和．若，且集合，求实数的取值范围． 巩固练习 一、单选题 1．已知集合，，则的非空真子集有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．为全集，，是集合，则“存在集合使得，"是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足①；②对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ） A．， B．，或 C．， D．， 4．集合中的元素均为正整数，且具有性质：若，则，这样的集合共有____个． 5．正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．设集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C．或 D． 7．设，，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 8.，集合，若，分别为集合，的元素个数，则下列结论可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 9.对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集”，则下列说法正确的是（    ） A．不是“可分集” B．集合中元素个数最少为7个 C．若集合是“可分集”，则集合中元素全为奇数 D．若集合是“可分集”，则集合中元素个数为奇数 10.设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有（ ） A． B． C． D． 三、填空题 11．已知两个集合，，若，则整数___________． 12．如果①，，，都属于；②，，，；③是，，，中的最小数．那么，可以组成的不同的四位数的个数是_______个． 四、解答题 13．已知集合和． （1）当时，求集合． （2）当时，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一讲 集合的概念与运算 例1 设，，，求证：． 【分析】中的元素是什么?是自然数，即由两个整数，的平方和构成的自然数，亦即从中任取两个（相同或不相同）数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即，其中，． 【证明】设；，，，，， 则 ， 因为，，所以． 例2．设，求证：，． 【证明】因为，且，故． 另外，假设，则存在，，使， 即． 由于与具有相同的奇偶性，所以左边有且仅有两种可能：奇数或的倍数， 另一方面，右边只能是被除余的数，故不能成立． 由此，． 例3．已知二次函数，若方程无实根，求证：方程也无实根． 【证明】已知，方程， 即无实根， 仍是二次函数，仍是二次方程， 它无实根即． 若，则函数的图象在轴上方，所以，即恒成立， 即对任意实数恒成立，所以对有恒成立， 所以无实根． 若，函数的图象在轴下方，所以，即恒成立， 即对任意实数，恒成立，所以对实数有恒成立， 所以无实根， 综上可知，当无实根时，方程也无实根． 例4．对于函数， 若，则称为的“不动点”，若，则称 为的“稳定点"．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和．若，且集合，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，，则集合，满足题设． （2）当时，因为集合，所以方程有解，得． 集合 ． 因为，所以方程无解或与同解． 由，得． 由解得． 综上得为所求． 【点评】本题借用“不动点”和“稳定点”这两个概念来描述方程的解集