6.2.1&6.2.2 平面向量的加减法运算（讲义，3考点+8题型）-2023-2024学年高一数学同步讲义与对点练（人教A版2019必修第二册）

6.2.1&6.2.2 平面向量的加减法运算 知识点一 向量的加法运算 1、向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2、向量求和的法则 求和法则 三角形法则 平行四边形法则 前提 已知非零向量， 已知两个不共线向量， 作法 在平面内取任意一点，作，连接 在平面内任取一点O，作＝，＝，以为邻边作▱OACB， 结论 向量叫做与的和，记作＋，即＋＝＋ 以O为起点的向量就是向量与的和 图形 微点拨： (1)三角形法则与平行四边形法则的记忆口诀 ①三角形法则：作平移，首尾连，由起点，指终点； ②平行四边形法则：作平移，共起点，四边形，对角线． (2)向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 (3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单． 3、向量加法中的常见结论 特殊规定 对于零向量与任意向量，规定 特殊结论 一般地，我们有，当且仅当，方向相同或者至少有一个为零向量时等号成立 两个物理模型 (1)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型； (2)力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型 4、向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 微点拨： ①应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． ②当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立． ③多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如 知识点二 相反向量 定义 与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作 性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量； (2)对于相反向量有：； (3)若互为相反向量，则 微点拨： ①相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．. ②避免一个误区：即将相反向量等同于方向相反的向量，而是方向相反且模相等的向量． 知识点三 向量的减法运算及其几何意义 定义 向量加上的相反向量，叫做与的差，即，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量．求两个向量差的运算叫做向量的减法 作法 在平面内任取一点，作 结论 向量 图形 几何意义 如果把两个向量,的起点放在一起，则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量 微点拨： ①向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，，就可以把减法转化为加法． ②两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点． ③向量减法满足三角形法则，在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． 知识点四 向量加法和减法几何意义的联系 1、如图，在平行四边形ABCD中，若，则． 微点拨： ①若，则平行四边形ABCD为菱形． ②若，则平行四边形ABCD为矩形． ③若，且，则平行四边形ABCD为正方形． 2、类比，可知，其中的几何意义分别是以AB,AD为邻边的平行四边形的两条对角线的长． 微点拨： ①在公式中，当与方向相反且时，；当与方向相同时，． ②在公式中，当与方向相同且时，；当与方向相反时，． 考点一 向量的加法 题型一 已知向量作和向量 易错提醒 向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点． 1．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量． (1)     (2)   2．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．    3．（2022·高一课时练习）如图所示，求： (1)； (2)； (3)； (4). 题型二 向量加法的运算律及应用 提分笔记 解决向量加法运算问题时应关注两点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序，特别注意勿将写成0. 1．（2023下·天津红桥·高一统考期末）化简：（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·云南迪庆·高一统考期末）四边形是梯形，，则等于（    ）    A． B． C． D． 3．（2022下·广东梅州·高一兴宁市第一中学校考期中）等于（    ） A． B． C． D． 4．（2023下·广西·高一统考期末）在矩形中，，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 5．