2024年中考数学二轮复习 图形变换问题训练

图形变换问题 考向1 平移问题 典型题 1、/新考向 综合与实践 /问题情境: 直线l与线段AB 所在直线交于点P,O是线段AB的中点,将直线l沿着直线AB的水平方向 移,分别过点A和点B作直线l的垂线,垂足分别为C,D. 特例感知: (1)如图1,当点P和点O重合时,猜想OC和OD的数量关系是 ; 类比迁移: (2)如图2,当P是线段 B上除点O外的任意一点时,(1)中OC和OD的数量关系是否依然度立? 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由; 拓展应用: (3)如图3,当P是线段BA的延长线上一点,AO=2PA,∠DPB=30 时,的值. {解题思路} (1)由①是线段AB 的中点,AC⊥l,BD⊥l,∠AOC=∠BOD可证 AOC≌ BOD,进而得出OC=OD; (2)根据条件中有中点,有直角,想到直角三角形的斜边中线的性质,故延长CO交BD于点E,如图1,易证: AOC≌ BOE,可得OC=OE.再利用直角三角形的斜边中线的性质即可求证 OC=OD; (3)类比(2),延长CO交DB的延长线于点F,如图 2,易证 AOC≌ BOF,得CO=FO,进而利用直角三角斜边中线的性质得到 OC=OD,由等腰 COD和已知条件∠DPB=30 想到作垂线,故过点O作OM⊥C 点M,设AC=x,根据∠DPB=30 ,AO=2PA可表示出PC,PA,AO,BO,PD,OM,进而表示出CD,等腰三角形“三线合一”的性质可得CD=2CM,在Rt COM中利用勾股定理表示出OC,即可表示出OD,再求 的值. 2、/新考向 综合与实践 //新考向 开放性试题/ 问题背景: 在综合与实践课上,同学们以“图形的平移与旋转”为主题开展数学活动.如图 1,先将一张等边三角形纸片ABC对折后剪开,得到两个互相重合的和,点E与点A重合,点B与点 F 重合,然后将绕点D顺时针旋转,使点F落在边AB上,如图2,连接EC. 操作发现: (1)判断四边形BFEC的形状,并说明理由; 实践探究: (2)聪聪提出疑问:若等边三角形的边长为8,将图2中的沿射线BC方向平移a个单位长度,得到连接,如图3,若四边形为菱形,则a的值为多少? 请你帮聪聪解决这个问题,求出a的值; (3)如果将(2)中聪聪所提问题的平移方向改为:沿射线CB方向平移a个单位长度,其余条件不变,则四边形 能否成为菱形?若能,直接写出平移距离a 的值;若不能,请说明理由; (4)老师提出问题:请参照聪聪的思路,若等边三角形的边长为8,将图2中的在平面内进行一次平移,得到,请在图4中画出平移后构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,写出你发现的一个结论,不必证明. 3、/新考向 综合与实践/ /新考向 开放性试题/ 问题情境: 在综合与实践课上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动,如图1,将一张菱形纸片(∠BAD>90 )沿对角线AC剪开,得到和 操作发现: (1)将图 1中的以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转角 ,使得到如图2 所示的延长BC,交于点E,则四边形的形状是 ; (2)“创新”小组将图1中的以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转角 ,使得到如图3 所示的, 连接 DB,得到四边形发现它是矩形,请你证明这个结论; (3)“缜密”小组在创新小组发现的结论的基础上,量得图3中然后提出一个问题:将沿着射线DB方 向平移a cm,得到连接当四边形 恰好为正方形时,求a的值.请你解答此问题; (4)请你参照以上操作,将图1中的在同一平面内进行一次平移,得到在图4中画出平移后构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,写出你发现的结论,不必证明. 考向 2 旋转问题 旋转问题包括旋转全等和旋转相似,出题背景常见三角形、四边形和圆等,解题技巧为“遇转 90 ”“遇转60 ” “遇转45 ”“遇转120 ”“遇中点转180 ”“半角模型”“共顶点,等线段可转化为手拉手模型”等. 典型题 4、新考向 综合与实践/ 问题情境: 在中,,O为AB的中点,点D在直线 AB 上(不与点 A,B 重合),连接CD,将线段CD绕点C逆时针旋转,得到线段CE,过点B作直线过点E作,垂足为F,直线EF交直线OC于点G. 特例感知: (1)如图1,当点D与点O重合时,探究线段AD与线段EF之间的数量关系,并说明理由;类比迁移: (2)如图2,当点D在线段AB上时,求证; 拓展延伸: (3)连接DE, CDE的面积记为的面积记为当EF:BC=1:3时,求的值. {解题思路}此题主要运用“手拉手模型”构造辅助线. (1)由“共顶点(点 C),等线段(CA=CB,CD=CE)”发现可用“手拉手模型”,如图 1,连接BE,可证 BCE≌ ACD,得到BE=AD,∠CBE=∠A=45 ,推出 BEF是等腰直角三