5.1 导数的概念及其意义（六大考点）-2023-2024学年高二数学下学期考点剖析及精准练习（人教A版2019）

5.1导数的概念及其意义 1.通过对实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景. 2.理解函数的平均变化率、瞬时变化率,会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.理解导数的概念,会利用导数的定义求函数在某点处的导数. 4.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 一、平均速度与瞬时速度 （1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度 （2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的极限,即 二、割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即. 三、导数 （1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率 （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. 四、求切线方程 1.求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2.求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 考点01平均变化率（平均速度） 1．函数在区间上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D．0 2．某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 3．若函数在区间上的平均变化率为3，则m等于 ． 4．如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，试分别找出与各容器对应的水面高度h与时间t的函数图象    A．      B．   C．     D．   5．路灯距地面，一个身高为的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C点处沿直线匀速离开路灯. (1)求身影的长度y(单位：m)与人距C点的距离x(单位：m)之间的关系式； (2)求人离开C点10 s内身影长度的平均变化率. 6．已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是. (1)求半径r关于体积V的函数r(V)； (2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率；哪段半径变化得快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？ 考点02瞬时变化率（瞬时速度） 7．在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 8．一个质量的物体作直线运动，设运动距离（单位：m）与时间（单位：s）的关系可用函数：表示，若，则该物体开始运动后第2s时的速度是（    ） A．3m/s B．5m/s C．6m/s D．12m/s 9．物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ． 10．球的体积V（单位：）与半径R（单位：cm）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 11．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是 ，枪弹从枪口射出时所用的时间为s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度. 12．某赛车比赛中，一赛车的位移s（单位：m）与比赛时间t（单位：s）存在函数关系. (1)当，时，求与的值； (2)求当时的瞬时速度. 考点03导数的定义 13．若函数的满足，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 14．若可导函数满足，则（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 16．若是函数的导数，且，则（    ） A． B． C． D．0 17．设函数，则（    ） A． B． C． D． 18．已知函数的导函数为，且，，则