2024届高三数学一轮复习小题练习之圆锥曲线的方程与性质（8+4+4）

圆锥曲线的方程与性质 一、单项选择题 1．已知点F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点P(4，m)在抛物线C上，且|PF|＝6，则p＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线2x－y＋1＝0垂直，则该双曲线C的离心率为(　　) A． B． C．2 D． 3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与双曲线x2－＝1的其中一个焦点相同，则p＝(　　) A．1 B．2 C． D．2 4．设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若PF1·PF2＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，在右支上存在点P，Q，使得POQF为正方形(O为坐标原点)，设该双曲线离心率为e，则e2＝(　　) A． B．3＋ C． D．9＋ 6．已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别是A，B，O是坐标原点，P在椭圆C上，且|OP|＝，则△PAB的面积是(　　) A．2 B．4 C．4 D．8 7．已知平面四边形ABCD的四个顶点都在抛物线y2＝ax(a≠0)上，其中顶点D(1，－2)，F为抛物线的焦点，若＝(＋)，则||＋||＋||＝(　　) A．12 B．9 C．6 D．3 8．若双曲线x2－＝1的两条渐近线与椭圆M：＋＝1(a>b>0)的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为(　　) A．－1 B．－1 C． D． 二、多项选择题 9．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，焦距为2，则满足条件的双曲线C可以是(　　) A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－x2＝1 D．y2－＝1 10．已知曲线C：mx2＋(1－m)y2＝1为焦点在y轴上的椭圆，则(　　) A．<m<1 B．C的离心率为 C．C的短轴长的取值范围是(2，2) D．m的值越小，C的焦距越大 11．已知双曲线C：x2－y2＝2的左、右顶点分别为A1，A2，渐近线为直线l1，l2，离心率为e.过右焦点F且垂直于x轴的直线交双曲线C于点P，Q，则下列说法正确的是(　　) A．e＝ B．l1⊥l2 C．|PQ|＝2 D．A1P⊥A2Q 12．已知抛物线C：y2＝2px过点M(2，2)，焦点为F，则下列说法正确的是(　　) A．点M到焦点的距离为3 B．直线MF与x轴垂直 C.直线MF与C交于点N，以弦MN为直径的圆与C的准线相切 D．过点M与C相切的直线方程为x－2y＋1＝0 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若抛物线C：y2＝2px存在以点(3，3)为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为________． 14．直线l：x＋y－1＝0与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，长轴的右顶点为点P，则△ABP的面积为________. 15．过原点的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|＝8，则p的值为________. 16．圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图，从双曲线C的右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知入射光线F2P的斜率为－2，且F2P和反射光线PE互相垂直(其中P为入射点)，则双曲线C的渐近线方程为________． 1．解析：由题意可得4＋＝6，解得p＝4.故选B. 答案：B 2．解析：依题意，双曲线C的渐近线方程为：y＝±x ，依题意，－×2＝－1，于是a＝2b， 双曲线C的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距c＝＝b， 所以双曲线C的离心率e＝＝＝.故选A. 答案：A 3．解析：抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(，0)，双曲线x2－＝1的右焦点为(，0)， 依题意，＝，所以p＝2.故选D. 答案：D 4．解析：方法一　因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，则S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝b2tan ，得|PF1|·|PF2|＝1×tan ，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B. 方法二　因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B. 答案：B 5．解析：由题意，当POQF为正方形时，点P