2024年中考数学高频考点突破——二次函数与菱形

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与菱形 1．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求点A，B，C的坐标； (2)连接，，并将沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 3．如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于两点，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的任意一点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)如果点在运动过程中，能使得以为顶点的三角形面积最大，请求出此时点的坐标； (3)连接，并将沿轴对折，得到四边形，如果四边形为菱形，求点的坐标． 5．二次函数经过点，，．    (1)求该二次函数的解析式； (2)设点的横坐标为，过点作轴交直线于点，轴交对称轴于点，以、为边构造矩形，当矩形的周长最大时，求点的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位后得到新抛物线，与直线交于点，点为平移后抛物线对称轴上一点，点为平面内任意一点．在第（2）问条件下，当点、、、构成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 6．如图，已知二次函数的图像与轴交于点、点，与轴交于点，且，点为抛物线的顶点，连接． (1)求点的坐标及该抛物线的解析式， (2)如图1，点在直线下方抛物线上的一个动点，过点作交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线对称轴上运动，点是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程． 7．如图，二次函数的图象过原点，对称轴为．    (1)求二次函数的解析式； (2)已知直线交坐标轴于A、B两点，点为抛物线上一点，点为轴上一点．是否存在以AB为边的四边形为菱形？若存在，求出满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 8．综合与探究 如图，二次函数的图像经过轴上的点和轴上的点，且对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式． (2)点E位于抛物线第四象限内的图像上，以，为边作平行四边形．当平行四边形为菱形时，求点的坐标与菱形的面积． (3)连接，在直线上是否存在一点，使得与相似，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴交于点，若点关于轴的对称点在一次函数的图象上． (1)求的值； (2)若一次函数与一次函数交于，且点关于原点的对称点为点．求过，，三点对应的二次函数表达式； (3)为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点． ①当四边形为菱形时，求点的坐标； ②若点的横坐标为，当为何值时，四边形的面积最大？请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，线段，二次函数与y轴交于A点，与x轴分别交于B点、E点（B点在E点的左侧） (1)分别求A、B、E点的坐标； (2)连接、，请判断与是否相似并说明理由； (3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由． 11．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图象经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段OB上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC相交于点D和点E，连接CD． (1)求这个二次函数的解析式． (2)求DE、CE的值（用含m的代数式表示）． (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 12．在平