2023 学年陕西省西安交通大学少年班招生考试数学试题

2023 学年西安交通大学少年班招生考试数学试题 一、填空题(本题共12 小题，每小题2分，共24分) 1 一组数据x,-1,3,7,10,若它们的平均数为5,则它们的中位数是 ▲ 2 若 则 3 若关于x的不等式组 的解集中，整数解仅有1，2，3，则满足题意的整数对 (a,b)的组数是 ▲ 4 某商场在对某商品近期的销售情况统计时发现，若商品的售价上涨x%时，销售额就会减少 x%，则当售价上涨 ▲ 时，销售总额最高. 5 如图,圆O是△ABC的内切圆, AB=6,BC=8,AC=10,现将40个点均匀投入该三角形，落在内切圆中的点有22个，则由以上数据可以估算出π的近似值是 ▲ 6定义新运算 “*” ，满足 若关于 x的方程 有两个相等的实数根，则a= ▲ 7 函 数 的 图像 如图 所示 ，则 表 达 式|a+b+c|+|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|= ▲ 8 如图，△ABC是等腰直角三角形，D是 AC中点，现将三角形翻折，使得翻折后点B与点D重合.若折痕与AB,BC的交点分别是E,F,则sin∠DFC= ▲ 9如图,△ABC是等边三角形,若∠DCA=10°,∠DAC=20°,则. 10 某几何体的三视图如右图所示，若它们均是直角边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是 ▲ 11 一项足球邀请赛共有6个队伍参加，比赛采取单循环赛制.即任意两支队伍之间均赛一场.已知其中五支队伍目前分别比赛了1,2,3,4,5场,则第六支队伍已经比赛了 ▲ 场. 12 在平面直角坐标系中，直线l：y=-x+2，△OPQ是边长为l的正三角形，其中O为坐标原点，则点P，Q到直线l的距离之和的最小值是 ▲ 二、解答题(本题共5小题，前两小题每题6分，后三小题每题8分，共36分) 13 在平面直角坐标系中，横纵坐标互为相反数的点被称为“黎数点”. (1) 求函数 的图像上的“黎数点”； (2) 若函数 的图像上有且仅有一个“黎数点”，且该点与 的图像在第二象限内的“黎数点”相同，求C的值. 14 如图,在等腰△ABC中, AB=AC,BC是圆O直径，AB，AC分别交圆O于点E，F.连接FO并延长交圆于另一点D,连接DE. (1) 求证:EG=DG; (2) 若P是弧BD的中点.连接PE交 BC 于J.已知CF=3BJ=12,求AF的长. 15 六公园有自行车50辆，每日管理费为固定价115元.当自行车租金不超过6元/辆时，能租出所有车；当租金超过6元/辆后，每上涨1元租金，当日租出的车辆就少3辆.设每辆自行车的租金为x元，每日净利润为y元.其中x为整数，且3≤x≤20. (1) 用含x的代数式表示y； (2) 求y的最大值及对应的x值. 16 函数 与x轴的交点为A，B，与y轴交于点C，圆M 为 的外接圆. (1) 求证：圆M 与y轴的另一交点为点D，求点D的坐标； (2) 若△ABC的面积是 b,c为整数,求b,c. 17 抛物线 交x轴于 A，B两点，其中A在B的左侧；交y轴于点C. (1) 抛物线的顶点横坐标为3，AB=8，求方程 的解； (2) 若a=-1,b=2,c=3..直线BC与抛物线的对称轴交于点D. P是抛物线在第一象限内的动点，求以点P为圆心，PD为半径的圆的面积的最小值. 三、材料阅读题(本题共 40分) 18 阅读下列材料，解决后面提出的问题. 集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而形成的集体.其中构成集合的这些对象则成为该集合的元素.其中元素和集合的关系分为“属于”和“不属于”两种.如果元素a在集合A中，就说a属于A，记作a∈A；反之如果元素a不在集合A中，就说a不属于A,记作a∉A. 集合有列举法和描述法等表示方法，其中若集合S是由具有某种性质P的元素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合：S={x|P(x)}.例如由2的平方根组成的集合B可以表示为 而有理数集Q和正实数集R⁺分别可以表示为 和 下面我们来讲分割.设α是有理数集Q的子集，如果满足： ①α≠∅,α≠Q; ② 若p∈α,则对满足q<p的任意有理数q均有q∈α; ③ α中不含有最大元. 则称α是一个分割(cut)；我们称α中的元素为α的下数，称( 性别中 的元素为α的上数，在上数中若有最小的一个，则其被称为最小上数，如果q是α的上数且不是最小上数，则称之为α的真上数. 最后给出有理分割的概念：设 则称α是一个有理分割. 试根据上述材料，完成下列问题： (1) 求证：α是一个有理分割当且仅当其有最小上