1.2.1空间中的点、直线与空间向量课件-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1．2.1　空间中的点、直线与空间向量 [课标解读]　1.能用向量语言描述直线，理解直线的方向向量.2.能用向量语言表述直线与直线的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线位置关系的判定定理.4.体会向量方法在研究几何问题中的作用． 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 新知初探·自主学习 教材要点 知识点一　用向量表示直线或点在直线上的位置 在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a，对于直线l上的任意一点P，则有＝ta，上面向量等式叫做空间直线的___________．向量a称为该直线的方向向量． 知识点二　用向量方法证明直线与直线平行 1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合⇔________． 2．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l在α内⇔存在两个实数x，y，使v＝________． 3．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔__________． 向量参数方程 v1∥v2 xv1＋yv2 v1∥β且v2∥β 知识点三　用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量，则l1⊥l2⇔________，cos θ＝__________． v1⊥v2 cos〈v1，v2〉 基础自测 1.直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(3，0，1)，v2＝(－1，0，m)，若l1∥l2，则m等于(　　) A．1 B．3 C． D．－ 答案：D 解析：因为l1∥l2.所以存在实数λ，使v1＝λv2 即(3，0，1)＝λ(－1，0，m)， ∴，解得m＝－. 2．若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2，2，6) B．(1，1，3) C．(3，1，1) D．(－3，0，1) 答案：B 解析：＝(2，1，2)－(1，0，－1)＝(1，1，3)，故选B. 3．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是120°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° 答案：C 解析：由异面直线所成角的定义可知，l1与l2所成的角为180°－120°＝60°. 4．直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量为v1＝(－1，1，2)，直线l2的方向向量v2＝(2，0，1)，则直线l1与l2的位置关系是________． 答案：垂直 解析：因为v1·v2＝(－1，1，2)·(2，0，1)＝－2＋2＝0，所以v1⊥v2. 课堂探究·素养提升 题型1　空间中点的位置确定 例1　已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5)． (1)若＝()，求P点的坐标； 解析：＝(－1，1，5)，＝(－3，－1，5)． ＝)＝(2，2，0)＝(1，1，0)． ∴P点的坐标为(1，1，0)． (2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标． 解析：由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2， 知＝. 设点P的坐标为(x，y，z)， 则＝(x－3，y－4，z)，＝(2－x，5－y，5－z)， 故(x－3，y－4，z)＝(2－x，5－y，5－z)， 即，得. 因此P点的坐标为()． 状元随笔 (1)由条件先求出，的坐标，再利用向量的运算求P点的坐标． (2)先把条件AP∶PB＝1∶2转化为向量关系，再运算． 方法归纳 此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组求解即可． 跟踪训练1 已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP∶PB＝1∶2； (2)AQ∶QB＝2∶1. 求点P和点Q的坐标． 解析：由已知，得＝2， 即＝2()， ＝. 设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得 (x，y，z)＝(2，4，0)＋(1，3，3)， 即x＝＝，y＝＝， z＝0＋1＝1. 因此，P点的坐标是(，1)． 因为AQ∶QB＝2∶1， 所以＝－2＝－2()， ＝－＋2， 设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示， 得(x′，y′，z′)＝－(2，4，0)＋2(1，3，3)＝(0，2，6)， 即x′＝0，y′＝2，z′＝6. 因此，Q点的坐标是(0，2，6)． 综上，P点的坐标是(，1)，Q点的坐标是(0，2，6)． 题型2　利用向量法求异面直线的夹