第二篇 10 题型十 几何探究综合题-【智乐星中考·学考传奇】2024年山东省中考数学精讲本（五四制）

题型十　几何探究综合题 类型1 动点探究 对角互补模型 模型依据 1.定义：对角互补模型，常指以对角互补的四边形为背景的模型． 2．依据：(1)圆内接四边形对角互补； (2)对角互补的四边形有外接圆，即对角互补的四边形的4个顶点共圆 衍生模型 模型 条件 结论 双90°型 作QC⊥OC，交OB于点Q 1.∠AOB＝∠DCE＝90°； 2．OC平分∠AOB 1.CD＝CE； 2．OD＋OE＝OC； 3．S四边形DOEC＝S△ODC＋ S△OEC＝OC2 作CN⊥OC，交OB于点N 1.∠AOB＝∠DCE＝90°； 2．OC平分∠AOB 1.CD＝CE； 2．OE－OD＝OC； 3．S△OEC－S△ODC＝OC2 60°，120°型 作CF∥AD，交OB于点F 1.∠AOB＝2∠DCE＝120°； 2．OC平分∠AOB 1.CD＝CE； 2．OD＋OE＝OC； 3．S四边形DOEC＝S△ODC＋ S△OEC＝OC2 作CF∥AO，交OB于点F 1.∠AOB＝2∠DCE＝120°； 2．OC平分∠AOB 1.CD＝CE； 2．OE－OD＝OC； 3．S△OEC－S△ODC＝OC2 解题步骤 1.找角平分线与对角的点，构造旋转； 2．证全等、相似； 3．利用全等、相似得到边、角的关系 如图1，直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合，两直角边PE，PF分别和AB，AD所在的直线交于点E和F.易得△PBE≌△PDF，故结论“PE＝PF”成立； (1)如图2，若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？说明理由； (2)如图3，将图2中正方形ABCD改为矩形ABCD，其他条件不变．若AB＝m，BC＝n，直接写出的值． (1)分别作AB，AD的垂线，构造与PE，PF有关的全等三角形，从而得到PE与PF的关系； (2)分别作AB，AD的垂线，构造与PE，PF有关的相似三角形，从而得到PE与PF的关系． 1．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝6，∠BAD＝60°，且AB＞6. (1)求∠EPF的度数； (2)若AP＝10，求AE＋AF的值； (3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值． 类型2 旋转探究 (1)方法感悟 如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，易证△GAF≌△EAF，从而得到结论：DE＋BF＝EF，根据这个结论，若正方形ABCD的边长为1，则△CEF的周长为________； (2)方法迁移 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD边上的点，且∠EAF＝∠BAD，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，证明你的结论； (3)问题拓展 如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠ADC＝180°，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，试探究线段EF，BE，FD之间的数量关系，请直接写出你的猜想．(不必说明理由) (1)根据半角模型解答； (2)将△ADE绕点A顺时针旋转角度为∠BAD的度数，构造全等三角形解答； (3)在BC上截取与DF相等的线段，构造全等三角形解答． 2．问题背景：在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法，如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADG的位置，使得AB与AD重合，然后证明△AGF≌△AEF，从而得出结论：__________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，连接EF.(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 类型3 类比、拓展探究 衍生模型 模型 条件 结论 “手拉手” 相似模型 1.△ABC和 △CED 均为直角三角形； 2．C为公共点； 3．∠BAC＝∠CDE 1．△BCE∽△ACD； 2.＝； 3．∠AFB＝90° 解题步骤 1.寻找公共的顶点； 2．列出两组相等的边或者对应成比例的边； 3．利用判定定理证明全等或相似； 4．利用全等或相似找出线段间的数量关系或其他等量元素 (2021·枣庄)如图1，