第一篇 19 第三章 第七节 二次函数的综合应用-【智乐星中考·学考传奇】2024年山东省中考数学精讲本（五四制）

2024山东 数 学 2024/2/6 1 二次函数与线段最值 解题方法： 1．单线段最值 2 问题类型 解题步骤 图形与方法 求竖直线段MN的最大值 1.通过函数的关系式设出关键点的坐标，一般设横坐标为x，纵坐标用函数关系式表示； 2．用线段两端点的纵坐标表示出线段的长度； 3．通过二次函数的性质求最值 M(t，at2＋bt＋c)，N(t，mt＋n)， MN＝|at2＋bt＋c－(mt＋n)|＝|at2＋(b－m)t＋c－n| 3 问题类型 解题步骤 图形与方法 求斜线段MP的最大值 1.线段端点分别作x轴、y轴的垂线构造直角三角形； 2．利用勾股定理或者相似转化求解，将斜线段转化为求垂直线段； 3．利用二次函数的性质求最值 M(t，at2＋bt＋c)，N(t，mt＋n)， MN＝|at2＋bt＋c－(mt＋n)|＝|at2＋(b－m)t＋c－n|，MP＝MN·sin∠MNP 4 2．线段和(差)最值 (1)两点一线 衍生模型 模型 问题 作法 结论 异侧两点求线段和最小值 两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上求一点P，使PA＋PB的值最小 连接AB，与直线l的交点即为P 此时PA＋PB的值最小，最小值为AB的长 5 衍生模型 模型 问题 作法 结论 同侧两点求线段和最小值 两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上求一点P，使PA＋PB的值最小 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为P PA＋PB的最小值为AB′的长 6 衍生模型 模型 问题 作法 结论 同侧两点求线段差最大值 两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上求一点P，使|PA－PB|的值最大 连接AB并延长，与直线l的交点即为P 此时|PA－PB|的值最大，最大值为线段AB的长 7 衍生模型 模型 问题 作法 结论 异侧两点求线段差最大值 两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上求一点P，使|PA－PB|的值最大 作点B关于直线l的对称点B′，作直线AB′，与直线l的交点即为P 此时|PA－PB|的值最大，最大值为线段AB′的长 8 (2)一点两线 模型 问题 作法 结论 在直线l1上求点A，在直线l2上求点B，使PA＋AB的值最小 作点P关于直线l1的对称点P′，作P′B⊥l2于点B，交直线l1于点A PA＋AB的最小值为P′B的长 在直线l1，l2上分别求点M，N，使△PMN的周长最小 分别作点P关于两直线的对称点P′和P″，连接P′P″，与两直线交点即为点M，N △PMN周长的最小值为线段P′P″的长 9 (3)两点两线 模型 问题 作法 结论 在直线l1，l2上分别求点M，N，使四边形PQMN的周长最小 分别作点Q，P关于直线l1，l2的对称点Q′和P′，连接Q′P′，与两直线交点即为点M，N 四边形PQMN周长的最小值为线段Q′P′＋QP的长 10 模型 问题 作法 结论 点A为直线l1上一定点，点B为直线l2上一定点，在直线l2上求点M，在直线l1上求点N，使AM＋MN＋NB的值最小 作点A关于直线l2的对称点A′，作点B关于直线l1的对称点B′，连接A′B′交直线l2于点M，交直线l1于点N AM＋MN＋NB的最小值为线段A′B′的长 11 【一题多问】 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C. 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 二次函数与面积问题 解题方法： 40 【一题多问】 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 3．(2023·泰安25题14分)如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象经过点A(－4，0)，B(－1，0)． 51 (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使△BCP面积为5？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，小明经过探究发现，位于x轴下方的抛物线上，存在一点D，使∠DAB与∠ACB互为余角．你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 52 53 54 55 56 57 58 59 二次函数与特殊三角形存在性问题 解题方法： 1．等腰三角形存在性 若A(xA，yA)，B(xB，yB)为已知点，C为x轴上一点，为所求点． 利用距离公式求坐标： (1)设点：设点C的坐标为(m，0)； (2)表示线段的平方：AB2＝(xA－xB)2＋(yA－yB)2，AC2＝(xA－m)2＋yA2，BC2＝(xB－m)2＋yB2； 60 (3)分类讨论： ①AB